Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23599 / 27695
↖ ↑ ↗
← N 26.828973°
W 50.366822°		 ← 545.10 m → N 26.828973°
W 50.361328°		 →
↑
545.10 m
↓
↑
545.10 m
↓
N 26.824071°
W 50.366822°		 ← 545.12 m →
297 141 m²		 N 26.824071°
W 50.361328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360099792480469 y=0.422599792480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360099792480469 × 216)
    floor (0.360099792480469 × 65536)
    floor (23599.5)     		tx = 23599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422599792480469 × 216)
    floor (0.422599792480469 × 65536)
    floor (27695.5)     		ty = 27695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23599 / 27695 ti = "16/23599/27695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23599/27695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23599 ÷ 216
    23599 ÷ 65536     		x = 0.360092163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27695 ÷ 216
    27695 ÷ 65536     		y = 0.422592163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360092163085938 × 2 - 1) × π
    -0.279815673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87906687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422592163085938 × 2 - 1) × π
    0.154815673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.48636778354509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87906687} λ = -0.87906687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.48636778354509))-π/2
    2×atan(1.62639804866774)-π/2
    2×1.01952511813223-π/2
    2.03905023626446-1.57079632675     		φ = 0.46825391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87906687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.366822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46825391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.828973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23599 KachelY 27695 -0.87906687 0.46825391 -50.366822 26.828973
    Oben rechts KachelX + 1 23600 KachelY 27695 -0.87897099 0.46825391 -50.361328 26.828973
    Unten links KachelX 23599 KachelY + 1 27696 -0.87906687 0.46816835 -50.366822 26.824071
    Unten rechts KachelX + 1 23600 KachelY + 1 27696 -0.87897099 0.46816835 -50.361328 26.824071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46825391-0.46816835) × R
    8.55599999999845e-05 × 6371000     		dl = 545.102759999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46825391-0.46816835) × R
    8.55599999999845e-05 × 6371000     		dr = 545.102759999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87906687--0.87897099) × cos(0.46825391) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.892357708887686 × 6371000     		do = 545.098027163094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87906687--0.87897099) × cos(0.46816835) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.8923963213167 × 6371000     		du = 545.121613622505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46825391)-sin(0.46816835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892357708887686-0.8923963213167)×R²
    abs(-0.87897099--0.87906687)×3.86124290148171e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.86124290148171e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.86124290148171e-05×40589641000000     		ar = 297140.867780338m²