Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23596 / 27692
↖ ↑ ↗
← N 26.843677°
W 50.383301°		 ← 545.03 m → N 26.843677°
W 50.377807°		 →
↑
544.98 m
↓
↑
544.98 m
↓
N 26.838776°
W 50.383301°		 ← 545.05 m →
297 033 m²		 N 26.838776°
W 50.377807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360054016113281 y=0.422554016113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360054016113281 × 216)
    floor (0.360054016113281 × 65536)
    floor (23596.5)     		tx = 23596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422554016113281 × 216)
    floor (0.422554016113281 × 65536)
    floor (27692.5)     		ty = 27692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23596 / 27692 ti = "16/23596/27692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23596/27692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23596 ÷ 216
    23596 ÷ 65536     		x = 0.36004638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27692 ÷ 216
    27692 ÷ 65536     		y = 0.42254638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36004638671875 × 2 - 1) × π
    -0.2799072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.87935449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42254638671875 × 2 - 1) × π
    0.1549072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.48665540494281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87935449} λ = -0.87935449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.48665540494281))-π/2
    2×atan(1.62686590282696)-π/2
    2×1.01965344038755-π/2
    2.0393068807751-1.57079632675     		φ = 0.46851055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87935449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.383301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46851055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.843677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23596 KachelY 27692 -0.87935449 0.46851055 -50.383301 26.843677
    Oben rechts KachelX + 1 23597 KachelY 27692 -0.87925861 0.46851055 -50.377807 26.843677
    Unten links KachelX 23596 KachelY + 1 27693 -0.87935449 0.46842501 -50.383301 26.838776
    Unten rechts KachelX + 1 23597 KachelY + 1 27693 -0.87925861 0.46842501 -50.377807 26.838776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46851055-0.46842501) × R
    8.55400000000506e-05 × 6371000     		dl = 544.975340000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46851055-0.46842501) × R
    8.55400000000506e-05 × 6371000     		dr = 544.975340000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87935449--0.87925861) × cos(0.46851055) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.892241850468986 × 6371000     		do = 545.027254876561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87935449--0.87925861) × cos(0.46842501) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.892280473462019 × 6371000     		du = 545.050847789017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46851055)-sin(0.46842501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892241850468986-0.892280473462019)×R²
    abs(-0.87925861--0.87935449)×3.86229930331439e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.86229930331439e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.86229930331439e-05×40589641000000     		ar = 297032.842494566m²