Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23592 / 27704
↖ ↑ ↗
← N 26.784848°
W 50.405273°		 ← 545.25 m → N 26.784848°
W 50.399780°		 →
↑
545.29 m
↓
↑
545.29 m
↓
N 26.779944°
W 50.405273°		 ← 545.28 m →
297 330 m²		 N 26.779944°
W 50.399780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359992980957031 y=0.422737121582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359992980957031 × 216)
    floor (0.359992980957031 × 65536)
    floor (23592.5)     		tx = 23592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422737121582031 × 216)
    floor (0.422737121582031 × 65536)
    floor (27704.5)     		ty = 27704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23592 / 27704 ti = "16/23592/27704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23592/27704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23592 ÷ 216
    23592 ÷ 65536     		x = 0.3599853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27704 ÷ 216
    27704 ÷ 65536     		y = 0.4227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3599853515625 × 2 - 1) × π
    -0.280029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87973798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4227294921875 × 2 - 1) × π
    0.154541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.485504919351929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87973798} λ = -0.87973798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485504919351929))-π/2
    2×atan(1.62499529330844)-π/2
    2×1.01914005143848-π/2
    2.03828010287697-1.57079632675     		φ = 0.46748378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87973798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.405273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46748378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.784848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23592 KachelY 27704 -0.87973798 0.46748378 -50.405273 26.784848
    Oben rechts KachelX + 1 23593 KachelY 27704 -0.87964211 0.46748378 -50.399780 26.784848
    Unten links KachelX 23592 KachelY + 1 27705 -0.87973798 0.46739819 -50.405273 26.779944
    Unten rechts KachelX + 1 23593 KachelY + 1 27705 -0.87964211 0.46739819 -50.399780 26.779944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46748378-0.46739819) × R
    8.55900000000243e-05 × 6371000     		dl = 545.293890000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46748378-0.46739819) × R
    8.55900000000243e-05 × 6371000     		dr = 545.293890000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87973798--0.87964211) × cos(0.46748378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.892705026102043 × 6371000     		do = 545.253312160647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87973798--0.87964211) × cos(0.46739819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.892743593235771 × 6371000     		du = 545.276868494252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46748378)-sin(0.46739819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892705026102043-0.892743593235771)×R²
    abs(-0.87964211--0.87973798)×3.85671337280735e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85671337280735e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85671337280735e-05×40589641000000     		ar = 297329.722367528m²