Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23592 / 27688
↖ ↑ ↗
← N 26.863280°
W 50.405273°		 ← 544.88 m → N 26.863280°
W 50.399780°		 →
↑
544.85 m
↓
↑
544.85 m
↓
N 26.858380°
W 50.405273°		 ← 544.90 m →
296 881 m²		 N 26.858380°
W 50.399780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359992980957031 y=0.422492980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359992980957031 × 216)
    floor (0.359992980957031 × 65536)
    floor (23592.5)     		tx = 23592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422492980957031 × 216)
    floor (0.422492980957031 × 65536)
    floor (27688.5)     		ty = 27688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23592 / 27688 ti = "16/23592/27688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23592/27688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23592 ÷ 216
    23592 ÷ 65536     		x = 0.3599853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27688 ÷ 216
    27688 ÷ 65536     		y = 0.4224853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3599853515625 × 2 - 1) × π
    -0.280029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87973798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4224853515625 × 2 - 1) × π
    0.155029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.487038900139771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87973798} λ = -0.87973798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487038900139771))-π/2
    2×atan(1.6274899177325)-π/2
    2×1.01982451080338-π/2
    2.03964902160676-1.57079632675     		φ = 0.46885269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87973798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.405273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46885269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.863280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23592 KachelY 27688 -0.87973798 0.46885269 -50.405273 26.863280
    Oben rechts KachelX + 1 23593 KachelY 27688 -0.87964211 0.46885269 -50.399780 26.863280
    Unten links KachelX 23592 KachelY + 1 27689 -0.87973798 0.46876717 -50.405273 26.858380
    Unten rechts KachelX + 1 23593 KachelY + 1 27689 -0.87964211 0.46876717 -50.399780 26.858380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46885269-0.46876717) × R
    8.55200000000056e-05 × 6371000     		dl = 544.847920000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46885269-0.46876717) × R
    8.55200000000056e-05 × 6371000     		dr = 544.847920000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87973798--0.87964211) × cos(0.46885269) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.892087302250788 × 6371000     		do = 544.876013987063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87973798--0.87964211) × cos(0.46876717) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.892125942319325 × 6371000     		du = 544.899614868357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46885269)-sin(0.46876717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892087302250788-0.892125942319325)×R²
    abs(-0.87964211--0.87973798)×3.86400685364885e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.86400685364885e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.86400685364885e-05×40589641000000     		ar = 296880.992505138m²