Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23591 / 27623
↖ ↑ ↗
← N 27.181356°
W 50.410767°		 ← 543.39 m → N 27.181356°
W 50.405273°		 →
↑
543.32 m
↓
↑
543.32 m
↓
N 27.176469°
W 50.410767°		 ← 543.42 m →
295 242 m²		 N 27.176469°
W 50.405273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359977722167969 y=0.421501159667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359977722167969 × 216)
    floor (0.359977722167969 × 65536)
    floor (23591.5)     		tx = 23591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421501159667969 × 216)
    floor (0.421501159667969 × 65536)
    floor (27623.5)     		ty = 27623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23591 / 27623 ti = "16/23591/27623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23591/27623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23591 ÷ 216
    23591 ÷ 65536     		x = 0.359970092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27623 ÷ 216
    27623 ÷ 65536     		y = 0.421493530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359970092773438 × 2 - 1) × π
    -0.280059814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87983386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421493530273438 × 2 - 1) × π
    0.157012939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.493270697090378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87983386} λ = -0.87983386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493270697090378))-π/2
    2×atan(1.63766377221126)-π/2
    2×1.0226002400254-π/2
    2.04520048005079-1.57079632675     		φ = 0.47440415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87983386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.410767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47440415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.181356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23591 KachelY 27623 -0.87983386 0.47440415 -50.410767 27.181356
    Oben rechts KachelX + 1 23592 KachelY 27623 -0.87973798 0.47440415 -50.405273 27.181356
    Unten links KachelX 23591 KachelY + 1 27624 -0.87983386 0.47431887 -50.410767 27.176469
    Unten rechts KachelX + 1 23592 KachelY + 1 27624 -0.87973798 0.47431887 -50.405273 27.176469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47440415-0.47431887) × R
    8.52800000000209e-05 × 6371000     		dl = 543.318880000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47440415-0.47431887) × R
    8.52800000000209e-05 × 6371000     		dr = 543.318880000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87983386--0.87973798) × cos(0.47440415) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.889565068854791 × 6371000     		do = 543.392138865894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87983386--0.87973798) × cos(0.47431887) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.889604022247239 × 6371000     		du = 543.415933603323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47440415)-sin(0.47431887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889565068854791-0.889604022247239)×R²
    abs(-0.87973798--0.87983386)×3.89533924484153e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.89533924484153e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.89533924484153e-05×40589641000000     		ar = 295241.672533353m²