Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23588 / 27620
↖ ↑ ↗
← N 27.196014°
W 50.427246°		 ← 543.32 m → N 27.196014°
W 50.421753°		 →
↑
543.26 m
↓
↑
543.26 m
↓
N 27.191129°
W 50.427246°		 ← 543.34 m →
295 168 m²		 N 27.191129°
W 50.421753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359931945800781 y=0.421455383300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359931945800781 × 216)
    floor (0.359931945800781 × 65536)
    floor (23588.5)     		tx = 23588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421455383300781 × 216)
    floor (0.421455383300781 × 65536)
    floor (27620.5)     		ty = 27620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23588 / 27620 ti = "16/23588/27620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23588/27620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23588 ÷ 216
    23588 ÷ 65536     		x = 0.35992431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27620 ÷ 216
    27620 ÷ 65536     		y = 0.42144775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35992431640625 × 2 - 1) × π
    -0.2801513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88012148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42144775390625 × 2 - 1) × π
    0.1571044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.493558318488098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88012148} λ = -0.88012148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493558318488098))-π/2
    2×atan(1.63813486709966)-π/2
    2×1.02272816059423-π/2
    2.04545632118846-1.57079632675     		φ = 0.47465999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88012148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.427246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47465999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.196014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23588 KachelY 27620 -0.88012148 0.47465999 -50.427246 27.196014
    Oben rechts KachelX + 1 23589 KachelY 27620 -0.88002560 0.47465999 -50.421753 27.196014
    Unten links KachelX 23588 KachelY + 1 27621 -0.88012148 0.47457472 -50.427246 27.191129
    Unten rechts KachelX + 1 23589 KachelY + 1 27621 -0.88002560 0.47457472 -50.421753 27.191129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47465999-0.47457472) × R
    8.52699999999706e-05 × 6371000     		dl = 543.255169999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47465999-0.47457472) × R
    8.52699999999706e-05 × 6371000     		dr = 543.255169999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88012148--0.88002560) × cos(0.47465999) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.889448169861455 × 6371000     		do = 543.320730943434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88012148--0.88002560) × cos(0.47457472) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.889487138092013 × 6371000     		du = 543.344534744743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47465999)-sin(0.47457472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889448169861455-0.889487138092013)×R²
    abs(-0.88002560--0.88012148)×3.89682305582673e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.89682305582673e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.89682305582673e-05×40589641000000     		ar = 295168.262001089m²