Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23585 / 27617
↖ ↑ ↗
← N 27.210671°
W 50.443726°		 ← 543.25 m → N 27.210671°
W 50.438232°		 →
↑
543.19 m
↓
↑
543.19 m
↓
N 27.205786°
W 50.443726°		 ← 543.27 m →
295 095 m²		 N 27.205786°
W 50.438232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359886169433594 y=0.421409606933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359886169433594 × 216)
    floor (0.359886169433594 × 65536)
    floor (23585.5)     		tx = 23585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421409606933594 × 216)
    floor (0.421409606933594 × 65536)
    floor (27617.5)     		ty = 27617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23585 / 27617 ti = "16/23585/27617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23585/27617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23585 ÷ 216
    23585 ÷ 65536     		x = 0.359878540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27617 ÷ 216
    27617 ÷ 65536     		y = 0.421401977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359878540039062 × 2 - 1) × π
    -0.280242919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88040910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421401977539062 × 2 - 1) × π
    0.157196044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.493845939885818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88040910} λ = -0.88040910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493845939885818))-π/2
    2×atan(1.63860609750452)-π/2
    2×1.02285606434858-π/2
    2.04571212869716-1.57079632675     		φ = 0.47491580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88040910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.443726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47491580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.210671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23585 KachelY 27617 -0.88040910 0.47491580 -50.443726 27.210671
    Oben rechts KachelX + 1 23586 KachelY 27617 -0.88031322 0.47491580 -50.438232 27.210671
    Unten links KachelX 23585 KachelY + 1 27618 -0.88040910 0.47483054 -50.443726 27.205786
    Unten rechts KachelX + 1 23586 KachelY + 1 27618 -0.88031322 0.47483054 -50.438232 27.205786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47491580-0.47483054) × R
    8.52599999999759e-05 × 6371000     		dl = 543.191459999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47491580-0.47483054) × R
    8.52599999999759e-05 × 6371000     		dr = 543.191459999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88040910--0.88031322) × cos(0.47491580) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.889331226367993 × 6371000     		do = 543.249295836747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88040910--0.88031322) × cos(0.47483054) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.889370209427284 × 6371000     		du = 543.27310869621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47491580)-sin(0.47483054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889331226367993-0.889370209427284)×R²
    abs(-0.88031322--0.88040910)×3.89830592912865e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.89830592912865e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.89830592912865e-05×40589641000000     		ar = 295094.845799175m²