Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23584 / 27488
↖ ↑ ↗
← N 27.839076°
W 50.449219°		 ← 540.10 m → N 27.839076°
W 50.443726°		 →
↑
540.13 m
↓
↑
540.13 m
↓
N 27.834219°
W 50.449219°		 ← 540.12 m →
291 731 m²		 N 27.834219°
W 50.443726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359870910644531 y=0.419441223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359870910644531 × 216)
    floor (0.359870910644531 × 65536)
    floor (23584.5)     		tx = 23584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419441223144531 × 216)
    floor (0.419441223144531 × 65536)
    floor (27488.5)     		ty = 27488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23584 / 27488 ti = "16/23584/27488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23584/27488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23584 ÷ 216
    23584 ÷ 65536     		x = 0.35986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27488 ÷ 216
    27488 ÷ 65536     		y = 0.41943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35986328125 × 2 - 1) × π
    -0.2802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88050497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41943359375 × 2 - 1) × π
    0.1611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.506213659987793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88050497} λ = -0.88050497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506213659987793))-π/2
    2×atan(1.65899775832668)-π/2
    2×1.02833993267461-π/2
    2.05667986534922-1.57079632675     		φ = 0.48588354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88050497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48588354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.839076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23584 KachelY 27488 -0.88050497 0.48588354 -50.449219 27.839076
    Oben rechts KachelX + 1 23585 KachelY 27488 -0.88040910 0.48588354 -50.443726 27.839076
    Unten links KachelX 23584 KachelY + 1 27489 -0.88050497 0.48579876 -50.449219 27.834219
    Unten rechts KachelX + 1 23585 KachelY + 1 27489 -0.88040910 0.48579876 -50.443726 27.834219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48588354-0.48579876) × R
    8.47800000000065e-05 × 6371000     		dl = 540.133380000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48588354-0.48579876) × R
    8.47800000000065e-05 × 6371000     		dr = 540.133380000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88050497--0.88040910) × cos(0.48588354) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.884262690120614 × 6371000     		do = 540.096836593584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88050497--0.88040910) × cos(0.48579876) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.884302278339882 × 6371000     		du = 540.12101659375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48588354)-sin(0.48579876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884262690120614-0.884302278339882)×R²
    abs(-0.88040910--0.88050497)×3.95882192686381e-05×R²
    9.58700000001089e-05×3.95882192686381e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×3.95882192686381e-05×40589641000000     		ar = 291730.860263926m²