Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2358 / 1806
↖ ↑ ↗
← N 20.797201°
E 27.246094°		 ← 9 136.27 m → N 20.797201°
E 27.333985°		 →
↑
9 138.69 m
↓
↑
9 138.69 m
↓
N 20.715015°
E 27.246094°		 ← 9 141.24 m →
83 516 233 m²		 N 20.715015°
E 27.333985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5758056640625 y=0.4410400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5758056640625 × 212)
    floor (0.5758056640625 × 4096)
    floor (2358.5)     		tx = 2358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4410400390625 × 212)
    floor (0.4410400390625 × 4096)
    floor (1806.5)     		ty = 1806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2358 / 1806 ti = "12/2358/1806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2358/1806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2358 ÷ 212
    2358 ÷ 4096     		x = 0.57568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1806 ÷ 212
    1806 ÷ 4096     		y = 0.44091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57568359375 × 2 - 1) × π
    0.1513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47553404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44091796875 × 2 - 1) × π
    0.1181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.371223350657715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47553404} λ = 0.47553404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371223350657715))-π/2
    2×atan(1.44950678552855)-π/2
    2×0.966887983507061-π/2
    1.93377596701412-1.57079632675     		φ = 0.36297964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47553404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.246094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36297964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.797201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2358 KachelY 1806 0.47553404 0.36297964 27.246094 20.797201
    Oben rechts KachelX + 1 2359 KachelY 1806 0.47706803 0.36297964 27.333985 20.797201
    Unten links KachelX 2358 KachelY + 1 1807 0.47553404 0.36154522 27.246094 20.715015
    Unten rechts KachelX + 1 2359 KachelY + 1 1807 0.47706803 0.36154522 27.333985 20.715015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36297964-0.36154522) × R
    0.00143441999999999 × 6371000     		dl = 9138.68981999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36297964-0.36154522) × R
    0.00143441999999999 × 6371000     		dr = 9138.68981999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47553404-0.47706803) × cos(0.36297964) × R
    0.00153398999999999 × 0.934843020272642 × 6371000     		do = 9136.26785037993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47553404-0.47706803) × cos(0.36154522) × R
    0.00153398999999999 × 0.935351365381345 × 6371000     		du = 9141.23593269196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36297964)-sin(0.36154522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934843020272642-0.935351365381345)×R²
    abs(0.47706803-0.47553404)×0.00050834510870279×R²
    0.00153398999999999×0.00050834510870279×6371000²
    0.00153398999999999×0.00050834510870279×40589641000000     		ar = 83516233.1986624m²