Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2358 / 1021
↖ ↑ ↗
← N 82.684683°
W128.188477°		 ← 311.10 m → N 82.684683°
W128.166504°		 →
↑
311.16 m
↓
↑
311.16 m
↓
N 82.681885°
W128.188477°		 ← 311.22 m →
96 821 m²		 N 82.681885°
W128.166504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143951416015625 y=0.062347412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143951416015625 × 214)
    floor (0.143951416015625 × 16384)
    floor (2358.5)     		tx = 2358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.062347412109375 × 214)
    floor (0.062347412109375 × 16384)
    floor (1021.5)     		ty = 1021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2358 / 1021 ti = "14/2358/1021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2358/1021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2358 ÷ 214
    2358 ÷ 16384     		x = 0.1439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1021 ÷ 214
    1021 ÷ 16384     		y = 0.06231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1439208984375 × 2 - 1) × π
    -0.712158203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.23731098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06231689453125 × 2 - 1) × π
    0.8753662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.75004405740338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23731098} λ = -2.23731098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75004405740338))-π/2
    2×atan(15.6433210731129)-π/2
    2×1.50695814382529-π/2
    3.01391628765057-1.57079632675     		φ = 1.44311996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23731098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.188477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44311996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.684683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2358 KachelY 1021 -2.23731098 1.44311996 -128.188477 82.684683
    Oben rechts KachelX + 1 2359 KachelY 1021 -2.23692748 1.44311996 -128.166504 82.684683
    Unten links KachelX 2358 KachelY + 1 1022 -2.23731098 1.44307112 -128.188477 82.681885
    Unten rechts KachelX + 1 2359 KachelY + 1 1022 -2.23692748 1.44307112 -128.166504 82.681885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44311996-1.44307112) × R
    4.884000000005e-05 × 6371000     		dl = 311.159640000318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44311996-1.44307112) × R
    4.884000000005e-05 × 6371000     		dr = 311.159640000318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23731098--2.23692748) × cos(1.44311996) × R
    0.000383500000000314 × 0.127329768587094 × 6371000     		do = 311.102085999076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23731098--2.23692748) × cos(1.44307112) × R
    0.000383500000000314 × 0.127378210899042 × 6371000     		du = 311.22044405835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44311996)-sin(1.44307112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127329768587094-0.127378210899042)×R²
    abs(-2.23692748--2.23731098)×4.84423119484212e-05×R²
    0.000383500000000314×4.84423119484212e-05×6371000²
    0.000383500000000314×4.84423119484212e-05×40589641000000     		ar = 96820.8272259752m²