Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23579 / 27657
↖ ↑ ↗
← N 27.015090°
W 50.476685°		 ← 544.14 m → N 27.015090°
W 50.471192°		 →
↑
544.15 m
↓
↑
544.15 m
↓
N 27.010196°
W 50.476685°		 ← 544.17 m →
296 100 m²		 N 27.010196°
W 50.471192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359794616699219 y=0.422019958496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359794616699219 × 216)
    floor (0.359794616699219 × 65536)
    floor (23579.5)     		tx = 23579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422019958496094 × 216)
    floor (0.422019958496094 × 65536)
    floor (27657.5)     		ty = 27657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23579 / 27657 ti = "16/23579/27657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23579/27657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23579 ÷ 216
    23579 ÷ 65536     		x = 0.359786987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27657 ÷ 216
    27657 ÷ 65536     		y = 0.422012329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359786987304688 × 2 - 1) × π
    -0.280426025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88098434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422012329101562 × 2 - 1) × π
    0.155975341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.490010987916214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88098434} λ = -0.88098434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490010987916214))-π/2
    2×atan(1.63233415580778)-π/2
    2×1.02114930035189-π/2
    2.04229860070378-1.57079632675     		φ = 0.47150227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88098434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.476685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47150227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.015090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23579 KachelY 27657 -0.88098434 0.47150227 -50.476685 27.015090
    Oben rechts KachelX + 1 23580 KachelY 27657 -0.88088847 0.47150227 -50.471192 27.015090
    Unten links KachelX 23579 KachelY + 1 27658 -0.88098434 0.47141686 -50.476685 27.010196
    Unten rechts KachelX + 1 23580 KachelY + 1 27658 -0.88088847 0.47141686 -50.471192 27.010196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47150227-0.47141686) × R
    8.5410000000008e-05 × 6371000     		dl = 544.147110000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47150227-0.47141686) × R
    8.5410000000008e-05 × 6371000     		dr = 544.147110000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88098434--0.88088847) × cos(0.47150227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890886924919077 × 6371000     		do = 544.142838193469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88098434--0.88088847) × cos(0.47141686) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890925717039651 × 6371000     		du = 544.166531946288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47150227)-sin(0.47141686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890886924919077-0.890925717039651)×R²
    abs(-0.88088847--0.88098434)×3.87921205740049e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.87921205740049e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.87921205740049e-05×40589641000000     		ar = 296100.199453868m²