Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23576 / 27655
↖ ↑ ↗
← N 27.024877°
W 50.493164°		 ← 544.10 m → N 27.024877°
W 50.487671°		 →
↑
544.15 m
↓
↑
544.15 m
↓
N 27.019984°
W 50.493164°		 ← 544.12 m →
296 074 m²		 N 27.019984°
W 50.487671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359748840332031 y=0.421989440917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359748840332031 × 216)
    floor (0.359748840332031 × 65536)
    floor (23576.5)     		tx = 23576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421989440917969 × 216)
    floor (0.421989440917969 × 65536)
    floor (27655.5)     		ty = 27655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23576 / 27655 ti = "16/23576/27655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23576/27655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23576 ÷ 216
    23576 ÷ 65536     		x = 0.3597412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27655 ÷ 216
    27655 ÷ 65536     		y = 0.421981811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3597412109375 × 2 - 1) × π
    -0.280517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88127196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421981811523438 × 2 - 1) × π
    0.156036376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.490202735514694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88127196} λ = -0.88127196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490202735514694))-π/2
    2×atan(1.63264718197212)-π/2
    2×1.02123470934602-π/2
    2.04246941869204-1.57079632675     		φ = 0.47167309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88127196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.493164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47167309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.024877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23576 KachelY 27655 -0.88127196 0.47167309 -50.493164 27.024877
    Oben rechts KachelX + 1 23577 KachelY 27655 -0.88117609 0.47167309 -50.487671 27.024877
    Unten links KachelX 23576 KachelY + 1 27656 -0.88127196 0.47158768 -50.493164 27.019984
    Unten rechts KachelX + 1 23577 KachelY + 1 27656 -0.88117609 0.47158768 -50.487671 27.019984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47167309-0.47158768) × R
    8.5410000000008e-05 × 6371000     		dl = 544.147110000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47167309-0.47158768) × R
    8.5410000000008e-05 × 6371000     		dr = 544.147110000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88127196--0.88117609) × cos(0.47167309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890809321181505 × 6371000     		do = 544.095438779653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88127196--0.88117609) × cos(0.47158768) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890848126299601 × 6371000     		du = 544.1191404712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47167309)-sin(0.47158768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890809321181505-0.890848126299601)×R²
    abs(-0.88117609--0.88127196)×3.88051180961746e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88051180961746e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88051180961746e-05×40589641000000     		ar = 296074.409359587m²