Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23570 / 27762
↖ ↑ ↗
← N 26.500073°
W 50.526123°		 ← 546.67 m → N 26.500073°
W 50.520630°		 →
↑
546.63 m
↓
↑
546.63 m
↓
N 26.495157°
W 50.526123°		 ← 546.70 m →
298 834 m²		 N 26.495157°
W 50.520630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359657287597656 y=0.423622131347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359657287597656 × 216)
    floor (0.359657287597656 × 65536)
    floor (23570.5)     		tx = 23570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423622131347656 × 216)
    floor (0.423622131347656 × 65536)
    floor (27762.5)     		ty = 27762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23570 / 27762 ti = "16/23570/27762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23570/27762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23570 ÷ 216
    23570 ÷ 65536     		x = 0.359649658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27762 ÷ 216
    27762 ÷ 65536     		y = 0.423614501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359649658203125 × 2 - 1) × π
    -0.28070068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88184721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423614501953125 × 2 - 1) × π
    0.15277099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.479944238996002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88184721} λ = -0.88184721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479944238996002))-π/2
    2×atan(1.61598429077407)-π/2
    2×1.01665492559047-π/2
    2.03330985118093-1.57079632675     		φ = 0.46251352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88184721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.526123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46251352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.500073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23570 KachelY 27762 -0.88184721 0.46251352 -50.526123 26.500073
    Oben rechts KachelX + 1 23571 KachelY 27762 -0.88175133 0.46251352 -50.520630 26.500073
    Unten links KachelX 23570 KachelY + 1 27763 -0.88184721 0.46242772 -50.526123 26.495157
    Unten rechts KachelX + 1 23571 KachelY + 1 27763 -0.88175133 0.46242772 -50.520630 26.495157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46251352-0.46242772) × R
    8.58000000000247e-05 × 6371000     		dl = 546.631800000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46251352-0.46242772) × R
    8.58000000000247e-05 × 6371000     		dr = 546.631800000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88184721--0.88175133) × cos(0.46251352) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.894933795723644 × 6371000     		do = 546.671633619447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88184721--0.88175133) × cos(0.46242772) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.894972076299253 × 6371000     		du = 546.695017365713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46251352)-sin(0.46242772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894933795723644-0.894972076299253)×R²
    abs(-0.88175133--0.88184721)×3.8280575608507e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.8280575608507e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.8280575608507e-05×40589641000000     		ar = 298834.490427358m²