Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2357 / 1802
↖ ↑ ↗
← N 21.125498°
E 27.158203°		 ← 9 116.18 m → N 21.125498°
E 27.246094°		 →
↑
9 118.68 m
↓
↑
9 118.68 m
↓
N 21.043491°
E 27.158203°		 ← 9 121.21 m →
83 150 491 m²		 N 21.043491°
E 27.246094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5755615234375 y=0.4400634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5755615234375 × 212)
    floor (0.5755615234375 × 4096)
    floor (2357.5)     		tx = 2357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4400634765625 × 212)
    floor (0.4400634765625 × 4096)
    floor (1802.5)     		ty = 1802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2357 / 1802 ti = "12/2357/1802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2357/1802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2357 ÷ 212
    2357 ÷ 4096     		x = 0.575439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1802 ÷ 212
    1802 ÷ 4096     		y = 0.43994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575439453125 × 2 - 1) × π
    0.15087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47400006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43994140625 × 2 - 1) × π
    0.1201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.377359273809082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47400006} λ = 0.47400006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.377359273809082))-π/2
    2×atan(1.45842819030845)-π/2
    2×0.969752908332948-π/2
    1.9395058166659-1.57079632675     		φ = 0.36870949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47400006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.158203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36870949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.125498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2357 KachelY 1802 0.47400006 0.36870949 27.158203 21.125498
    Oben rechts KachelX + 1 2358 KachelY 1802 0.47553404 0.36870949 27.246094 21.125498
    Unten links KachelX 2357 KachelY + 1 1803 0.47400006 0.36727821 27.158203 21.043491
    Unten rechts KachelX + 1 2358 KachelY + 1 1803 0.47553404 0.36727821 27.246094 21.043491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36870949-0.36727821) × R
    0.00143127999999998 × 6371000     		dl = 9118.68487999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36870949-0.36727821) × R
    0.00143127999999998 × 6371000     		dr = 9118.68487999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47400006-0.47553404) × cos(0.36870949) × R
    0.00153397999999999 × 0.932793237451247 × 6371000     		do = 9116.17579152573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47400006-0.47553404) × cos(0.36727821) × R
    0.00153397999999999 × 0.933308132253376 × 6371000     		du = 9121.20785151705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36870949)-sin(0.36727821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932793237451247-0.933308132253376)×R²
    abs(0.47553404-0.47400006)×0.000514894802128629×R²
    0.00153397999999999×0.000514894802128629×6371000²
    0.00153397999999999×0.000514894802128629×40589641000000     		ar = 83150491.4331978m²