Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23564 / 27588
↖ ↑ ↗
← N 27.352253°
W 50.559082°		 ← 542.56 m → N 27.352253°
W 50.553589°		 →
↑
542.55 m
↓
↑
542.55 m
↓
N 27.347374°
W 50.559082°		 ← 542.58 m →
294 373 m²		 N 27.347374°
W 50.553589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359565734863281 y=0.420967102050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359565734863281 × 216)
    floor (0.359565734863281 × 65536)
    floor (23564.5)     		tx = 23564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420967102050781 × 216)
    floor (0.420967102050781 × 65536)
    floor (27588.5)     		ty = 27588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23564 / 27588 ti = "16/23564/27588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23564/27588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23564 ÷ 216
    23564 ÷ 65536     		x = 0.35955810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27588 ÷ 216
    27588 ÷ 65536     		y = 0.42095947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35955810546875 × 2 - 1) × π
    -0.2808837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88242245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42095947265625 × 2 - 1) × π
    0.1580810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.496626280063782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88242245} λ = -0.88242245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496626280063782))-π/2
    2×atan(1.64316831919846)-π/2
    2×1.0240915991949-π/2
    2.0481831983898-1.57079632675     		φ = 0.47738687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88242245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.559082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47738687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.352253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23564 KachelY 27588 -0.88242245 0.47738687 -50.559082 27.352253
    Oben rechts KachelX + 1 23565 KachelY 27588 -0.88232657 0.47738687 -50.553589 27.352253
    Unten links KachelX 23564 KachelY + 1 27589 -0.88242245 0.47730171 -50.559082 27.347374
    Unten rechts KachelX + 1 23565 KachelY + 1 27589 -0.88232657 0.47730171 -50.553589 27.347374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47738687-0.47730171) × R
    8.51600000000285e-05 × 6371000     		dl = 542.554360000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47738687-0.47730171) × R
    8.51600000000285e-05 × 6371000     		dr = 542.554360000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88242245--0.88232657) × cos(0.47738687) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.888198582025159 × 6371000     		do = 542.557418363614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88242245--0.88232657) × cos(0.47730171) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.888237706398291 × 6371000     		du = 542.581317544846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47738687)-sin(0.47730171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888198582025159-0.888237706398291)×R²
    abs(-0.88232657--0.88242245)×3.91243731315827e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.91243731315827e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.91243731315827e-05×40589641000000     		ar = 294373.376363889m²