Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23563 / 27585
↖ ↑ ↗
← N 27.366889°
W 50.564575°		 ← 542.43 m → N 27.366889°
W 50.559082°		 →
↑
542.49 m
↓
↑
542.49 m
↓
N 27.362010°
W 50.564575°		 ← 542.45 m →
294 269 m²		 N 27.362010°
W 50.559082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359550476074219 y=0.420921325683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359550476074219 × 216)
    floor (0.359550476074219 × 65536)
    floor (23563.5)     		tx = 23563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420921325683594 × 216)
    floor (0.420921325683594 × 65536)
    floor (27585.5)     		ty = 27585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23563 / 27585 ti = "16/23563/27585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23563/27585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23563 ÷ 216
    23563 ÷ 65536     		x = 0.359542846679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27585 ÷ 216
    27585 ÷ 65536     		y = 0.420913696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359542846679688 × 2 - 1) × π
    -0.280914306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88251832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420913696289062 × 2 - 1) × π
    0.158172607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.496913901461502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88251832} λ = -0.88251832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496913901461502))-π/2
    2×atan(1.64364099754006)-π/2
    2×1.02421932321263-π/2
    2.04843864642526-1.57079632675     		φ = 0.47764232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88251832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.564575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47764232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.366889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23563 KachelY 27585 -0.88251832 0.47764232 -50.564575 27.366889
    Oben rechts KachelX + 1 23564 KachelY 27585 -0.88242245 0.47764232 -50.559082 27.366889
    Unten links KachelX 23563 KachelY + 1 27586 -0.88251832 0.47755717 -50.564575 27.362010
    Unten rechts KachelX + 1 23564 KachelY + 1 27586 -0.88242245 0.47755717 -50.559082 27.362010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47764232-0.47755717) × R
    8.51500000000338e-05 × 6371000     		dl = 542.490650000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47764232-0.47755717) × R
    8.51500000000338e-05 × 6371000     		dr = 542.490650000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88251832--0.88242245) × cos(0.47764232) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888081184049 × 6371000     		do = 542.429125984237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88251832--0.88242245) × cos(0.47755717) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888120323147151 × 6371000     		du = 542.453031666716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47764232)-sin(0.47755717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888081184049-0.888120323147151)×R²
    abs(-0.88242245--0.88251832)×3.91390981506756e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91390981506756e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91390981506756e-05×40589641000000     		ar = 294269.213616689m²