Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23562 / 27587
↖ ↑ ↗
← N 27.357132°
W 50.570069°		 ← 542.53 m → N 27.357132°
W 50.564575°		 →
↑
542.49 m
↓
↑
542.49 m
↓
N 27.352253°
W 50.570069°		 ← 542.56 m →
294 326 m²		 N 27.352253°
W 50.564575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359535217285156 y=0.420951843261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359535217285156 × 216)
    floor (0.359535217285156 × 65536)
    floor (23562.5)     		tx = 23562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420951843261719 × 216)
    floor (0.420951843261719 × 65536)
    floor (27587.5)     		ty = 27587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23562 / 27587 ti = "16/23562/27587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23562/27587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23562 ÷ 216
    23562 ÷ 65536     		x = 0.359527587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27587 ÷ 216
    27587 ÷ 65536     		y = 0.420944213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359527587890625 × 2 - 1) × π
    -0.28094482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88261420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420944213867188 × 2 - 1) × π
    0.158111572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.496722153863022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88261420} λ = -0.88261420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496722153863022))-π/2
    2×atan(1.64332586354008)-π/2
    2×1.02413417574332-π/2
    2.04826835148664-1.57079632675     		φ = 0.47747202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88261420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.570069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47747202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.357132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23562 KachelY 27587 -0.88261420 0.47747202 -50.570069 27.357132
    Oben rechts KachelX + 1 23563 KachelY 27587 -0.88251832 0.47747202 -50.564575 27.357132
    Unten links KachelX 23562 KachelY + 1 27588 -0.88261420 0.47738687 -50.570069 27.352253
    Unten rechts KachelX + 1 23563 KachelY + 1 27588 -0.88251832 0.47738687 -50.564575 27.352253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47747202-0.47738687) × R
    8.51499999999783e-05 × 6371000     		dl = 542.490649999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47747202-0.47738687) × R
    8.51499999999783e-05 × 6371000     		dr = 542.490649999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88261420--0.88251832) × cos(0.47747202) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.888159455805965 × 6371000     		do = 542.533518055341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88261420--0.88251832) × cos(0.47738687) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.888198582025159 × 6371000     		du = 542.557418364242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47747202)-sin(0.47738687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888159455805965-0.888198582025159)×R²
    abs(-0.88251832--0.88261420)×3.91262191941077e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.91262191941077e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.91262191941077e-05×40589641000000     		ar = 294325.843881447m²