Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2356 / 1876
↖ ↑ ↗
← N 14.944785°
E 27.070312°		 ← 9 442.41 m → N 14.944785°
E 27.158203°		 →
↑
9 444.24 m
↓
↑
9 444.24 m
↓
N 14.859851°
E 27.070312°		 ← 9 446.14 m →
89 194 056 m²		 N 14.859851°
E 27.158203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5753173828125 y=0.4581298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5753173828125 × 212)
    floor (0.5753173828125 × 4096)
    floor (2356.5)     		tx = 2356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4581298828125 × 212)
    floor (0.4581298828125 × 4096)
    floor (1876.5)     		ty = 1876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2356 / 1876 ti = "12/2356/1876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2356/1876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2356 ÷ 212
    2356 ÷ 4096     		x = 0.5751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1876 ÷ 212
    1876 ÷ 4096     		y = 0.4580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5751953125 × 2 - 1) × π
    0.150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47246608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4580078125 × 2 - 1) × π
    0.083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.263844695508789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47246608} λ = 0.47246608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.263844695508789))-π/2
    2×atan(1.30192598564639)-π/2
    2×0.915816014430076-π/2
    1.83163202886015-1.57079632675     		φ = 0.26083570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47246608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.070312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26083570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.944785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2356 KachelY 1876 0.47246608 0.26083570 27.070312 14.944785
    Oben rechts KachelX + 1 2357 KachelY 1876 0.47400006 0.26083570 27.158203 14.944785
    Unten links KachelX 2356 KachelY + 1 1877 0.47246608 0.25935332 27.070312 14.859851
    Unten rechts KachelX + 1 2357 KachelY + 1 1877 0.47400006 0.25935332 27.158203 14.859851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26083570-0.25935332) × R
    0.00148238000000001 × 6371000     		dl = 9444.24298000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26083570-0.25935332) × R
    0.00148238000000001 × 6371000     		dr = 9444.24298000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47246608-0.47400006) × cos(0.26083570) × R
    0.00153397999999999 × 0.966174798481606 × 6371000     		do = 9442.41333949488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47246608-0.47400006) × cos(0.25935332) × R
    0.00153397999999999 × 0.966556024904491 × 6371000     		du = 9446.13906020968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26083570)-sin(0.25935332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966174798481606-0.966556024904491)×R²
    abs(0.47400006-0.47246608)×0.000381226422885184×R²
    0.00153397999999999×0.000381226422885184×6371000²
    0.00153397999999999×0.000381226422885184×40589641000000     		ar = 89194055.534932m²