Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23559 / 9235
↖ ↑ ↗
← N 82.301905°
W115.293274°		 ← 40.91 m → N 82.301905°
W115.290527°		 →
↑
40.90 m
↓
↑
40.90 m
↓
N 82.301538°
W115.293274°		 ← 40.91 m →
1 673 m²		 N 82.301538°
W115.290527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179744720458984 y=0.0704612731933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179744720458984 × 217)
    floor (0.179744720458984 × 131072)
    floor (23559.5)     		tx = 23559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0704612731933594 × 217)
    floor (0.0704612731933594 × 131072)
    floor (9235.5)     		ty = 9235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23559 / 9235 ti = "17/23559/9235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23559/9235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23559 ÷ 217
    23559 ÷ 131072     		x = 0.179740905761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9235 ÷ 217
    9235 ÷ 131072     		y = 0.0704574584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179740905761719 × 2 - 1) × π
    -0.640518188476562 × 3.1415926535     		Λ = -2.01224724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0704574584960938 × 2 - 1) × π
    0.859085083007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.69889538550878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01224724} λ = -2.01224724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69889538550878))-π/2
    2×atan(14.8633044321672)-π/2
    2×1.50361777759612-π/2
    3.00723555519225-1.57079632675     		φ = 1.43643923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01224724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.293274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43643923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.301905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23559 KachelY 9235 -2.01224724 1.43643923 -115.293274 82.301905
    Oben rechts KachelX + 1 23560 KachelY 9235 -2.01219930 1.43643923 -115.290527 82.301905
    Unten links KachelX 23559 KachelY + 1 9236 -2.01224724 1.43643281 -115.293274 82.301538
    Unten rechts KachelX + 1 23560 KachelY + 1 9236 -2.01219930 1.43643281 -115.290527 82.301538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43643923-1.43643281) × R
    6.42000000006249e-06 × 6371000     		dl = 40.9018200003981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43643923-1.43643281) × R
    6.42000000006249e-06 × 6371000     		dr = 40.9018200003981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01224724--2.01219930) × cos(1.43643923) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.133953229594723 × 6371000     		do = 40.9127642747104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01224724--2.01219930) × cos(1.43643281) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.133959591732707 × 6371000     		du = 40.9147074354122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43643923)-sin(1.43643281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133953229594723-0.133959591732707)×R²
    abs(-2.01219930--2.01224724)×6.36213798432816e-06×R²
    4.79400000004127e-05×6.36213798432816e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×6.36213798432816e-06×40589641000000     		ar = 1673.44625961101m²