Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 23558 / 9234
↖ ↑ ↗
← N 82.302273°
W115.296020°		 ← 40.90 m → N 82.302273°
W115.293274°		 →
↑
40.90 m
↓
↑
40.90 m
↓
N 82.301905°
W115.296020°		 ← 40.90 m →
1 673 m²		 N 82.301905°
W115.293274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179737091064453 y=0.0704536437988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179737091064453 × 217)
    floor (0.179737091064453 × 131072)
    floor (23558.5)     		tx = 23558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0704536437988281 × 217)
    floor (0.0704536437988281 × 131072)
    floor (9234.5)     		ty = 9234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23558 / 9234 ti = "17/23558/9234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23558/9234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23558 ÷ 217
    23558 ÷ 131072     		x = 0.179733276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9234 ÷ 217
    9234 ÷ 131072     		y = 0.0704498291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179733276367188 × 2 - 1) × π
    -0.640533447265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.01229517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0704498291015625 × 2 - 1) × π
    0.859100341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.6989433224084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01229517} λ = -2.01229517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6989433224084))-π/2
    2×atan(14.8640169499776)-π/2
    2×1.50362098817116-π/2
    3.00724197634233-1.57079632675     		φ = 1.43644565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01229517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.296020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43644565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.302273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23558 KachelY 9234 -2.01229517 1.43644565 -115.296020 82.302273
    Oben rechts KachelX + 1 23559 KachelY 9234 -2.01224724 1.43644565 -115.293274 82.302273
    Unten links KachelX 23558 KachelY + 1 9235 -2.01229517 1.43643923 -115.296020 82.301905
    Unten rechts KachelX + 1 23559 KachelY + 1 9235 -2.01224724 1.43643923 -115.293274 82.301905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43644565-1.43643923) × R
    6.42000000006249e-06 × 6371000     		dl = 40.9018200003981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43644565-1.43643923) × R
    6.42000000006249e-06 × 6371000     		dr = 40.9018200003981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01229517--2.01224724) × cos(1.43644565) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.133946867451218 × 6371000     		do = 40.9022873566908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01229517--2.01224724) × cos(1.43643923) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.133953229594723 × 6371000     		du = 40.9042301137468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43644565)-sin(1.43643923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133946867451218-0.133953229594723)×R²
    abs(-2.01224724--2.01229517)×6.362143505384e-06×R²
    4.79299999995852e-05×6.362143505384e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×6.362143505384e-06×40589641000000     		ar = 1673.01772602689m²