Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23557 / 27619
↖ ↑ ↗
← N 27.200900°
W 50.597534°		 ← 543.24 m → N 27.200900°
W 50.592041°		 →
↑
543.32 m
↓
↑
543.32 m
↓
N 27.196014°
W 50.597534°		 ← 543.26 m →
295 159 m²		 N 27.196014°
W 50.592041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359458923339844 y=0.421440124511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359458923339844 × 216)
    floor (0.359458923339844 × 65536)
    floor (23557.5)     		tx = 23557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421440124511719 × 216)
    floor (0.421440124511719 × 65536)
    floor (27619.5)     		ty = 27619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23557 / 27619 ti = "16/23557/27619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23557/27619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23557 ÷ 216
    23557 ÷ 65536     		x = 0.359451293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27619 ÷ 216
    27619 ÷ 65536     		y = 0.421432495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359451293945312 × 2 - 1) × π
    -0.281097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88309356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421432495117188 × 2 - 1) × π
    0.157135009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.493654192287338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88309356} λ = -0.88309356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493654192287338))-π/2
    2×atan(1.63829192884197)-π/2
    2×1.02277079704759-π/2
    2.04554159409519-1.57079632675     		φ = 0.47474527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88309356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.597534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47474527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.200900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23557 KachelY 27619 -0.88309356 0.47474527 -50.597534 27.200900
    Oben rechts KachelX + 1 23558 KachelY 27619 -0.88299769 0.47474527 -50.592041 27.200900
    Unten links KachelX 23557 KachelY + 1 27620 -0.88309356 0.47465999 -50.597534 27.196014
    Unten rechts KachelX + 1 23558 KachelY + 1 27620 -0.88299769 0.47465999 -50.592041 27.196014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47474527-0.47465999) × R
    8.52800000000209e-05 × 6371000     		dl = 543.318880000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47474527-0.47465999) × R
    8.52800000000209e-05 × 6371000     		dr = 543.318880000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88309356--0.88299769) × cos(0.47474527) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.889409190592624 × 6371000     		do = 543.240256140191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88309356--0.88299769) × cos(0.47465999) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.889448169861455 × 6371000     		du = 543.264064200877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47474527)-sin(0.47465999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889409190592624-0.889448169861455)×R²
    abs(-0.88299769--0.88309356)×3.89792688307855e-05×R²
    9.58700000001089e-05×3.89792688307855e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×3.89792688307855e-05×40589641000000     		ar = 295159.155400456m²