Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23557 / 27615
↖ ↑ ↗
← N 27.220441°
W 50.597534°		 ← 543.15 m → N 27.220441°
W 50.592041°		 →
↑
543.19 m
↓
↑
543.19 m
↓
N 27.215556°
W 50.597534°		 ← 543.17 m →
295 038 m²		 N 27.215556°
W 50.592041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359458923339844 y=0.421379089355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359458923339844 × 216)
    floor (0.359458923339844 × 65536)
    floor (23557.5)     		tx = 23557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421379089355469 × 216)
    floor (0.421379089355469 × 65536)
    floor (27615.5)     		ty = 27615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23557 / 27615 ti = "16/23557/27615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23557/27615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23557 ÷ 216
    23557 ÷ 65536     		x = 0.359451293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27615 ÷ 216
    27615 ÷ 65536     		y = 0.421371459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359451293945312 × 2 - 1) × π
    -0.281097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88309356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421371459960938 × 2 - 1) × π
    0.157257080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.494037687484299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88309356} λ = -0.88309356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.494037687484299))-π/2
    2×atan(1.63892032641392)-π/2
    2×1.02294132417373-π/2
    2.04588264834746-1.57079632675     		φ = 0.47508632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88309356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.597534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47508632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.220441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23557 KachelY 27615 -0.88309356 0.47508632 -50.597534 27.220441
    Oben rechts KachelX + 1 23558 KachelY 27615 -0.88299769 0.47508632 -50.592041 27.220441
    Unten links KachelX 23557 KachelY + 1 27616 -0.88309356 0.47500106 -50.597534 27.215556
    Unten rechts KachelX + 1 23558 KachelY + 1 27616 -0.88299769 0.47500106 -50.592041 27.215556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47508632-0.47500106) × R
    8.52600000000314e-05 × 6371000     		dl = 543.1914600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47508632-0.47500106) × R
    8.52600000000314e-05 × 6371000     		dr = 543.1914600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88309356--0.88299769) × cos(0.47508632) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.889253240855333 × 6371000     		do = 543.145003947919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88309356--0.88299769) × cos(0.47500106) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.889292236843915 × 6371000     		du = 543.168822220824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47508632)-sin(0.47500106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889253240855333-0.889292236843915)×R²
    abs(-0.88299769--0.88309356)×3.89959885811475e-05×R²
    9.58700000001089e-05×3.89959885811475e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×3.89959885811475e-05×40589641000000     		ar = 295038.196806239m²