Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23554 / 27629
↖ ↑ ↗
← N 27.152033°
W 50.614014°		 ← 543.53 m → N 27.152033°
W 50.608520°		 →
↑
543.51 m
↓
↑
543.51 m
↓
N 27.147145°
W 50.614014°		 ← 543.56 m →
295 423 m²		 N 27.147145°
W 50.608520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359413146972656 y=0.421592712402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359413146972656 × 216)
    floor (0.359413146972656 × 65536)
    floor (23554.5)     		tx = 23554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421592712402344 × 216)
    floor (0.421592712402344 × 65536)
    floor (27629.5)     		ty = 27629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23554 / 27629 ti = "16/23554/27629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23554/27629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23554 ÷ 216
    23554 ÷ 65536     		x = 0.359405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27629 ÷ 216
    27629 ÷ 65536     		y = 0.421585083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.28118896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88338119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421585083007812 × 2 - 1) × π
    0.156829833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.492695454294937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88338119} λ = -0.88338119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492695454294937))-π/2
    2×atan(1.63672198882797)-π/2
    2×1.02234434846894-π/2
    2.04468869693789-1.57079632675     		φ = 0.47389237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88338119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.614014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47389237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.152033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23554 KachelY 27629 -0.88338119 0.47389237 -50.614014 27.152033
    Oben rechts KachelX + 1 23555 KachelY 27629 -0.88328531 0.47389237 -50.608520 27.152033
    Unten links KachelX 23554 KachelY + 1 27630 -0.88338119 0.47380706 -50.614014 27.147145
    Unten rechts KachelX + 1 23555 KachelY + 1 27630 -0.88328531 0.47380706 -50.608520 27.147145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47389237-0.47380706) × R
    8.53100000000051e-05 × 6371000     		dl = 543.510010000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47389237-0.47380706) × R
    8.53100000000051e-05 × 6371000     		dr = 543.510010000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88338119--0.88328531) × cos(0.47389237) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.889798737792078 × 6371000     		do = 543.534875882696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88338119--0.88328531) × cos(0.47380706) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.889837666042184 × 6371000     		du = 543.558655261887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47389237)-sin(0.47380706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889798737792078-0.889837666042184)×R²
    abs(-0.88328531--0.88338119)×3.89282501064292e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.89282501064292e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.89282501064292e-05×40589641000000     		ar = 295423.108171037m²