Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23553 / 31744
↖ ↑ ↗
← N 67.609220°
W115.309754°		 ← 116.34 m → N 67.609220°
W115.307007°		 →
↑
116.33 m
↓
↑
116.33 m
↓
N 67.608174°
W115.309754°		 ← 116.35 m →
13 535 m²		 N 67.608174°
W115.307007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179698944091797 y=0.242191314697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179698944091797 × 217)
    floor (0.179698944091797 × 131072)
    floor (23553.5)     		tx = 23553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242191314697266 × 217)
    floor (0.242191314697266 × 131072)
    floor (31744.5)     		ty = 31744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23553 / 31744 ti = "17/23553/31744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23553/31744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23553 ÷ 217
    23553 ÷ 131072     		x = 0.179695129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31744 ÷ 217
    31744 ÷ 131072     		y = 0.2421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179695129394531 × 2 - 1) × π
    -0.640609741210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.01253486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2421875 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.61988371196094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01253486} λ = -2.01253486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61988371196094))-π/2
    2×atan(5.05250273676466)-π/2
    2×1.37539991552054-π/2
    2.75079983104107-1.57079632675     		φ = 1.18000350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01253486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.309754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18000350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.609220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23553 KachelY 31744 -2.01253486 1.18000350 -115.309754 67.609220
    Oben rechts KachelX + 1 23554 KachelY 31744 -2.01248692 1.18000350 -115.307007 67.609220
    Unten links KachelX 23553 KachelY + 1 31745 -2.01253486 1.17998524 -115.309754 67.608174
    Unten rechts KachelX + 1 23554 KachelY + 1 31745 -2.01248692 1.17998524 -115.307007 67.608174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18000350-1.17998524) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dl = 116.334460000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18000350-1.17998524) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dr = 116.334460000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01253486--2.01248692) × cos(1.18000350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380921588243505 × 6371000     		do = 116.343257971172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01253486--2.01248692) × cos(1.17998524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380938471510131 × 6371000     		du = 116.348414555374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18000350)-sin(1.17998524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380921588243505-0.380938471510131)×R²
    abs(-2.01248692--2.01253486)×1.6883266625578e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6883266625578e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6883266625578e-05×40589641000000     		ar = 13535.0300353716m²