Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23551 / 31742
↖ ↑ ↗
← N 67.611313°
W115.315247°		 ← 116.33 m → N 67.611313°
W115.312500°		 →
↑
116.33 m
↓
↑
116.33 m
↓
N 67.610267°
W115.315247°		 ← 116.34 m →
13 534 m²		 N 67.610267°
W115.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179683685302734 y=0.242176055908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179683685302734 × 217)
    floor (0.179683685302734 × 131072)
    floor (23551.5)     		tx = 23551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242176055908203 × 217)
    floor (0.242176055908203 × 131072)
    floor (31742.5)     		ty = 31742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23551 / 31742 ti = "17/23551/31742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23551/31742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23551 ÷ 217
    23551 ÷ 131072     		x = 0.179679870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31742 ÷ 217
    31742 ÷ 131072     		y = 0.242172241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179679870605469 × 2 - 1) × π
    -0.640640258789062 × 3.1415926535     		Λ = -2.01263073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242172241210938 × 2 - 1) × π
    0.515655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.61997958576018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01263073} λ = -2.01263073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61997958576018))-π/2
    2×atan(5.05298716261921)-π/2
    2×1.37541817491096-π/2
    2.75083634982193-1.57079632675     		φ = 1.18004002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01263073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.315247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18004002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.611313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23551 KachelY 31742 -2.01263073 1.18004002 -115.315247 67.611313
    Oben rechts KachelX + 1 23552 KachelY 31742 -2.01258279 1.18004002 -115.312500 67.611313
    Unten links KachelX 23551 KachelY + 1 31743 -2.01263073 1.18002176 -115.315247 67.610267
    Unten rechts KachelX + 1 23552 KachelY + 1 31743 -2.01258279 1.18002176 -115.312500 67.610267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18004002-1.18002176) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dl = 116.334460000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18004002-1.18002176) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dr = 116.334460000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01263073--2.01258279) × cos(1.18004002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38088782132923 × 6371000     		do = 116.332944686392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01263073--2.01258279) × cos(1.18002176) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38090470484987 × 6371000     		du = 116.338101348177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18004002)-sin(1.18002176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38088782132923-0.38090470484987)×R²
    abs(-2.01258279--2.01263073)×1.68835206394991e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68835206394991e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68835206394991e-05×40589641000000     		ar = 13533.8302494141m²