Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23551 / 27637
↖ ↑ ↗
← N 27.112923°
W 50.630493°		 ← 543.73 m → N 27.112923°
W 50.625000°		 →
↑
543.70 m
↓
↑
543.70 m
↓
N 27.108034°
W 50.630493°		 ← 543.75 m →
295 630 m²		 N 27.108034°
W 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359367370605469 y=0.421714782714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359367370605469 × 216)
    floor (0.359367370605469 × 65536)
    floor (23551.5)     		tx = 23551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421714782714844 × 216)
    floor (0.421714782714844 × 65536)
    floor (27637.5)     		ty = 27637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23551 / 27637 ti = "16/23551/27637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23551/27637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23551 ÷ 216
    23551 ÷ 65536     		x = 0.359359741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27637 ÷ 216
    27637 ÷ 65536     		y = 0.421707153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359359741210938 × 2 - 1) × π
    -0.281280517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88366881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421707153320312 × 2 - 1) × π
    0.156585693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.491928463901016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88366881} λ = -0.88366881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491928463901016))-π/2
    2×atan(1.63546712008267)-π/2
    2×1.02200305522727-π/2
    2.04400611045455-1.57079632675     		φ = 0.47320978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88366881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.630493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47320978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.112923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23551 KachelY 27637 -0.88366881 0.47320978 -50.630493 27.112923
    Oben rechts KachelX + 1 23552 KachelY 27637 -0.88357293 0.47320978 -50.625000 27.112923
    Unten links KachelX 23551 KachelY + 1 27638 -0.88366881 0.47312444 -50.630493 27.108034
    Unten rechts KachelX + 1 23552 KachelY + 1 27638 -0.88357293 0.47312444 -50.625000 27.108034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47320978-0.47312444) × R
    8.53400000000448e-05 × 6371000     		dl = 543.701140000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47320978-0.47312444) × R
    8.53400000000448e-05 × 6371000     		dr = 543.701140000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88366881--0.88357293) × cos(0.47320978) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.890110032579501 × 6371000     		do = 543.72503076368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88366881--0.88357293) × cos(0.47312444) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.890148922674961 × 6371000     		du = 543.748786836049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47320978)-sin(0.47312444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890110032579501-0.890148922674961)×R²
    abs(-0.88357293--0.88366881)×3.88900954598759e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.88900954598759e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.88900954598759e-05×40589641000000     		ar = 295630.377354067m²