Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23550 / 27630
↖ ↑ ↗
← N 27.147145°
W 50.635986°		 ← 543.50 m → N 27.147145°
W 50.630493°		 →
↑
543.51 m
↓
↑
543.51 m
↓
N 27.142257°
W 50.635986°		 ← 543.53 m →
295 405 m²		 N 27.142257°
W 50.630493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359352111816406 y=0.421607971191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359352111816406 × 216)
    floor (0.359352111816406 × 65536)
    floor (23550.5)     		tx = 23550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421607971191406 × 216)
    floor (0.421607971191406 × 65536)
    floor (27630.5)     		ty = 27630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23550 / 27630 ti = "16/23550/27630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23550/27630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23550 ÷ 216
    23550 ÷ 65536     		x = 0.359344482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27630 ÷ 216
    27630 ÷ 65536     		y = 0.421600341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359344482421875 × 2 - 1) × π
    -0.28131103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88376468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421600341796875 × 2 - 1) × π
    0.15679931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.492599580495697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88376468} λ = -0.88376468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492599580495697))-π/2
    2×atan(1.63656507759456)-π/2
    2×1.0223016933431-π/2
    2.0446033866862-1.57079632675     		φ = 0.47380706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88376468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.635986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47380706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.147145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23550 KachelY 27630 -0.88376468 0.47380706 -50.635986 27.147145
    Oben rechts KachelX + 1 23551 KachelY 27630 -0.88366881 0.47380706 -50.630493 27.147145
    Unten links KachelX 23550 KachelY + 1 27631 -0.88376468 0.47372175 -50.635986 27.142257
    Unten rechts KachelX + 1 23551 KachelY + 1 27631 -0.88366881 0.47372175 -50.630493 27.142257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47380706-0.47372175) × R
    8.53100000000051e-05 × 6371000     		dl = 543.510010000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47380706-0.47372175) × R
    8.53100000000051e-05 × 6371000     		dr = 543.510010000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88376468--0.88366881) × cos(0.47380706) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.889837666042184 × 6371000     		do = 543.501963703898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88376468--0.88366881) × cos(0.47372175) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.889876587816233 × 6371000     		du = 543.525736647475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47380706)-sin(0.47372175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889837666042184-0.889876587816233)×R²
    abs(-0.88366881--0.88376468)×3.89217740492942e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.89217740492942e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.89217740492942e-05×40589641000000     		ar = 295405.218323248m²