Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2355 / 6451
↖ ↑ ↗
← S 71.343013°
W 76.508789°		 ← 1 563.20 m → S 71.343013°
W 76.464844°		 →
↑
1 562.68 m
↓
↑
1 562.68 m
↓
S 71.357067°
W 76.508789°		 ← 1 562.06 m →
2 441 889 m²		 S 71.357067°
W 76.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.28753662109375 y=0.78753662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.28753662109375 × 213)
    floor (0.28753662109375 × 8192)
    floor (2355.5)     		tx = 2355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78753662109375 × 213)
    floor (0.78753662109375 × 8192)
    floor (6451.5)     		ty = 6451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2355 / 6451 ti = "13/2355/6451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2355/6451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2355 ÷ 213
    2355 ÷ 8192     		x = 0.2874755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6451 ÷ 213
    6451 ÷ 8192     		y = 0.7874755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2874755859375 × 2 - 1) × π
    -0.425048828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.33533028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7874755859375 × 2 - 1) × π
    -0.574951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80626237768372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33533028} λ = -1.33533028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80626237768372))-π/2
    2×atan(0.164266958691536)-π/2
    2×0.162812921717668-π/2
    0.325625843435337-1.57079632675     		φ = -1.24517048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33533028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.508789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24517048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.343013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2355 KachelY 6451 -1.33533028 -1.24517048 -76.508789 -71.343013
    Oben rechts KachelX + 1 2356 KachelY 6451 -1.33456329 -1.24517048 -76.464844 -71.343013
    Unten links KachelX 2355 KachelY + 1 6452 -1.33533028 -1.24541576 -76.508789 -71.357067
    Unten rechts KachelX + 1 2356 KachelY + 1 6452 -1.33456329 -1.24541576 -76.464844 -71.357067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24517048--1.24541576) × R
    0.000245279999999903 × 6371000     		dl = 1562.67887999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24517048--1.24541576) × R
    0.000245279999999903 × 6371000     		dr = 1562.67887999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33533028--1.33456329) × cos(-1.24517048) × R
    0.000766990000000023 × 0.319901807453989 × 6371000     		do = 1563.19803558284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33533028--1.33456329) × cos(-1.24541576) × R
    0.000766990000000023 × 0.31966940712501 × 6371000     		du = 1562.06241293469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24517048)-sin(-1.24541576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319901807453989-0.31966940712501)×R²
    abs(-1.33456329--1.33533028)×0.00023240032897931×R²
    0.000766990000000023×0.00023240032897931×6371000²
    0.000766990000000023×0.00023240032897931×40589641000000     		ar = 2441889.26093815m²