Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2355 / 6449
↖ ↑ ↗
← S 71.314876°
W 76.508789°		 ← 1 565.47 m → S 71.314876°
W 76.464844°		 →
↑
1 564.91 m
↓
↑
1 564.91 m
↓
S 71.328950°
W 76.508789°		 ← 1 564.33 m →
2 448 930 m²		 S 71.328950°
W 76.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.28753662109375 y=0.78729248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.28753662109375 × 213)
    floor (0.28753662109375 × 8192)
    floor (2355.5)     		tx = 2355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78729248046875 × 213)
    floor (0.78729248046875 × 8192)
    floor (6449.5)     		ty = 6449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2355 / 6449 ti = "13/2355/6449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2355/6449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2355 ÷ 213
    2355 ÷ 8192     		x = 0.2874755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6449 ÷ 213
    6449 ÷ 8192     		y = 0.7872314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2874755859375 × 2 - 1) × π
    -0.425048828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.33533028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7872314453125 × 2 - 1) × π
    -0.574462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80472839689587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33533028} λ = -1.33533028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80472839689587))-π/2
    2×atan(0.164519134417156)-π/2
    2×0.163058461705834-π/2
    0.326116923411668-1.57079632675     		φ = -1.24467940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33533028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.508789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24467940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.314876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2355 KachelY 6449 -1.33533028 -1.24467940 -76.508789 -71.314876
    Oben rechts KachelX + 1 2356 KachelY 6449 -1.33456329 -1.24467940 -76.464844 -71.314876
    Unten links KachelX 2355 KachelY + 1 6450 -1.33533028 -1.24492503 -76.508789 -71.328950
    Unten rechts KachelX + 1 2356 KachelY + 1 6450 -1.33456329 -1.24492503 -76.464844 -71.328950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24467940--1.24492503) × R
    0.000245629999999997 × 6371000     		dl = 1564.90872999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24467940--1.24492503) × R
    0.000245629999999997 × 6371000     		dr = 1564.90872999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33533028--1.33456329) × cos(-1.24467940) × R
    0.000766990000000023 × 0.320367042952561 × 6371000     		do = 1565.47140572488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33533028--1.33456329) × cos(-1.24492503) × R
    0.000766990000000023 × 0.320134349590218 × 6371000     		du = 1564.33435117116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24467940)-sin(-1.24492503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320367042952561-0.320134349590218)×R²
    abs(-1.33456329--1.33533028)×0.00023269336234355×R²
    0.000766990000000023×0.00023269336234355×6371000²
    0.000766990000000023×0.00023269336234355×40589641000000     		ar = 2448930.18839615m²