Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2355 / 1004
↖ ↑ ↗
← N 82.732092°
W128.254394°		 ← 309.09 m → N 82.732092°
W128.232422°		 →
↑
309.18 m
↓
↑
309.18 m
↓
N 82.729311°
W128.254394°		 ← 309.21 m →
95 584 m²		 N 82.729311°
W128.232422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143768310546875 y=0.061309814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143768310546875 × 214)
    floor (0.143768310546875 × 16384)
    floor (2355.5)     		tx = 2355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.061309814453125 × 214)
    floor (0.061309814453125 × 16384)
    floor (1004.5)     		ty = 1004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2355 / 1004 ti = "14/2355/1004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2355/1004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2355 ÷ 214
    2355 ÷ 16384     		x = 0.14373779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1004 ÷ 214
    1004 ÷ 16384     		y = 0.061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14373779296875 × 2 - 1) × π
    -0.7125244140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23846146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.061279296875 × 2 - 1) × π
    0.87744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.75656347575171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23846146} λ = -2.23846146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75656347575171))-π/2
    2×atan(15.7456395937643)-π/2
    2×1.50737186272205-π/2
    3.01474372544411-1.57079632675     		φ = 1.44394740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23846146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.254394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44394740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.732092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2355 KachelY 1004 -2.23846146 1.44394740 -128.254394 82.732092
    Oben rechts KachelX + 1 2356 KachelY 1004 -2.23807797 1.44394740 -128.232422 82.732092
    Unten links KachelX 2355 KachelY + 1 1005 -2.23846146 1.44389887 -128.254394 82.729311
    Unten rechts KachelX + 1 2356 KachelY + 1 1005 -2.23807797 1.44389887 -128.232422 82.729311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44394740-1.44389887) × R
    4.85300000001576e-05 × 6371000     		dl = 309.184630001004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44394740-1.44389887) × R
    4.85300000001576e-05 × 6371000     		dr = 309.184630001004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23846146--2.23807797) × cos(1.44394740) × R
    0.000383489999999931 × 0.12650902009067 × 6371000     		do = 309.088708953877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23846146--2.23807797) × cos(1.44389887) × R
    0.000383489999999931 × 0.126557160025304 × 6371000     		du = 309.206325154164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44394740)-sin(1.44389887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12650902009067-0.126557160025304)×R²
    abs(-2.23807797--2.23846146)×4.81399346337896e-05×R²
    0.000383489999999931×4.81399346337896e-05×6371000²
    0.000383489999999931×4.81399346337896e-05×40589641000000     		ar = 95583.6606940024m²