Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23549 / 27628
↖ ↑ ↗
← N 27.156921°
W 50.641480°		 ← 543.51 m → N 27.156921°
W 50.635986°		 →
↑
543.51 m
↓
↑
543.51 m
↓
N 27.152033°
W 50.641480°		 ← 543.53 m →
295 410 m²		 N 27.152033°
W 50.635986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359336853027344 y=0.421577453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359336853027344 × 216)
    floor (0.359336853027344 × 65536)
    floor (23549.5)     		tx = 23549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421577453613281 × 216)
    floor (0.421577453613281 × 65536)
    floor (27628.5)     		ty = 27628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23549 / 27628 ti = "16/23549/27628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23549/27628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23549 ÷ 216
    23549 ÷ 65536     		x = 0.359329223632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27628 ÷ 216
    27628 ÷ 65536     		y = 0.42156982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359329223632812 × 2 - 1) × π
    -0.281341552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88386056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42156982421875 × 2 - 1) × π
    0.1568603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.492791328094177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88386056} λ = -0.88386056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492791328094177))-π/2
    2×atan(1.63687891510578)-π/2
    2×1.02238700172857-π/2
    2.04477400345714-1.57079632675     		φ = 0.47397768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88386056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.641480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47397768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.156921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23549 KachelY 27628 -0.88386056 0.47397768 -50.641480 27.156921
    Oben rechts KachelX + 1 23550 KachelY 27628 -0.88376468 0.47397768 -50.635986 27.156921
    Unten links KachelX 23549 KachelY + 1 27629 -0.88386056 0.47389237 -50.641480 27.152033
    Unten rechts KachelX + 1 23550 KachelY + 1 27629 -0.88376468 0.47389237 -50.635986 27.152033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47397768-0.47389237) × R
    8.53100000000051e-05 × 6371000     		dl = 543.510010000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47397768-0.47389237) × R
    8.53100000000051e-05 × 6371000     		dr = 543.510010000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88386056--0.88376468) × cos(0.47397768) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.889759803066198 × 6371000     		do = 543.511092547768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88386056--0.88376468) × cos(0.47389237) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.889798737792078 × 6371000     		du = 543.534875882696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47397768)-sin(0.47389237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889759803066198-0.889798737792078)×R²
    abs(-0.88376468--0.88386056)×3.89347258801243e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.89347258801243e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.89347258801243e-05×40589641000000     		ar = 295410.182765059m²