Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23548 / 27612
↖ ↑ ↗
← N 27.235094°
W 50.646973°		 ← 543.07 m → N 27.235094°
W 50.641480°		 →
↑
543.06 m
↓
↑
543.06 m
↓
N 27.230211°
W 50.646973°		 ← 543.10 m →
294 930 m²		 N 27.230211°
W 50.641480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359321594238281 y=0.421333312988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359321594238281 × 216)
    floor (0.359321594238281 × 65536)
    floor (23548.5)     		tx = 23548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421333312988281 × 216)
    floor (0.421333312988281 × 65536)
    floor (27612.5)     		ty = 27612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23548 / 27612 ti = "16/23548/27612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23548/27612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23548 ÷ 216
    23548 ÷ 65536     		x = 0.35931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27612 ÷ 216
    27612 ÷ 65536     		y = 0.42132568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35931396484375 × 2 - 1) × π
    -0.2813720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88395643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42132568359375 × 2 - 1) × π
    0.1573486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.494325308882019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88395643} λ = -0.88395643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.494325308882019))-π/2
    2×atan(1.63939178276618)-π/2
    2×1.02306919989026-π/2
    2.04613839978052-1.57079632675     		φ = 0.47534207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88395643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47534207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.235094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23548 KachelY 27612 -0.88395643 0.47534207 -50.646973 27.235094
    Oben rechts KachelX + 1 23549 KachelY 27612 -0.88386056 0.47534207 -50.641480 27.235094
    Unten links KachelX 23548 KachelY + 1 27613 -0.88395643 0.47525683 -50.646973 27.230211
    Unten rechts KachelX + 1 23549 KachelY + 1 27613 -0.88386056 0.47525683 -50.641480 27.230211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47534207-0.47525683) × R
    8.52399999999864e-05 × 6371000     		dl = 543.064039999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47534207-0.47525683) × R
    8.52399999999864e-05 × 6371000     		dr = 543.064039999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88395643--0.88386056) × cos(0.47534207) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.889136227834684 × 6371000     		do = 543.073533825347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88395643--0.88386056) × cos(0.47525683) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.889175234061464 × 6371000     		du = 543.097358351618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47534207)-sin(0.47525683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889136227834684-0.889175234061464)×R²
    abs(-0.88386056--0.88395643)×3.90062267792146e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.90062267792146e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.90062267792146e-05×40589641000000     		ar = 294930.176596582m²