Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23546 / 27625
↖ ↑ ↗
← N 27.171582°
W 50.657959°		 ← 543.44 m → N 27.171582°
W 50.652466°		 →
↑
543.38 m
↓
↑
543.38 m
↓
N 27.166695°
W 50.657959°		 ← 543.46 m →
295 302 m²		 N 27.166695°
W 50.652466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359291076660156 y=0.421531677246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359291076660156 × 216)
    floor (0.359291076660156 × 65536)
    floor (23546.5)     		tx = 23546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421531677246094 × 216)
    floor (0.421531677246094 × 65536)
    floor (27625.5)     		ty = 27625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23546 / 27625 ti = "16/23546/27625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23546/27625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23546 ÷ 216
    23546 ÷ 65536     		x = 0.359283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27625 ÷ 216
    27625 ÷ 65536     		y = 0.421524047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.28143310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88414818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421524047851562 × 2 - 1) × π
    0.156951904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.493078949491898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88414818} λ = -0.88414818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493078949491898))-π/2
    2×atan(1.63734978422001)-π/2
    2×1.02251495030784-π/2
    2.04502990061568-1.57079632675     		φ = 0.47423357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88414818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.657959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47423357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.171582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23546 KachelY 27625 -0.88414818 0.47423357 -50.657959 27.171582
    Oben rechts KachelX + 1 23547 KachelY 27625 -0.88405230 0.47423357 -50.652466 27.171582
    Unten links KachelX 23546 KachelY + 1 27626 -0.88414818 0.47414828 -50.657959 27.166695
    Unten rechts KachelX + 1 23547 KachelY + 1 27626 -0.88405230 0.47414828 -50.652466 27.166695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47423357-0.47414828) × R
    8.52900000000156e-05 × 6371000     		dl = 543.3825900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47423357-0.47414828) × R
    8.52900000000156e-05 × 6371000     		dr = 543.3825900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88414818--0.88405230) × cos(0.47423357) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.889642978303018 × 6371000     		do = 543.43972996765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88414818--0.88405230) × cos(0.47414828) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.889681923319867 × 6371000     		du = 543.463519588831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47423357)-sin(0.47414828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889642978303018-0.889681923319867)×R²
    abs(-0.88405230--0.88414818)×3.8945016848313e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.8945016848313e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.8945016848313e-05×40589641000000     		ar = 295302.151590704m²