Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23546 / 27610
↖ ↑ ↗
← N 27.244863°
W 50.657959°		 ← 543.08 m → N 27.244863°
W 50.652466°		 →
↑
543.06 m
↓
↑
543.06 m
↓
N 27.239979°
W 50.657959°		 ← 543.11 m →
294 935 m²		 N 27.239979°
W 50.652466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359291076660156 y=0.421302795410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359291076660156 × 216)
    floor (0.359291076660156 × 65536)
    floor (23546.5)     		tx = 23546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421302795410156 × 216)
    floor (0.421302795410156 × 65536)
    floor (27610.5)     		ty = 27610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23546 / 27610 ti = "16/23546/27610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23546/27610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23546 ÷ 216
    23546 ÷ 65536     		x = 0.359283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27610 ÷ 216
    27610 ÷ 65536     		y = 0.421295166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.28143310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88414818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421295166015625 × 2 - 1) × π
    0.15740966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.494517056480499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88414818} λ = -0.88414818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.494517056480499))-π/2
    2×atan(1.63970616234329)-π/2
    2×1.02315444101783-π/2
    2.04630888203566-1.57079632675     		φ = 0.47551256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88414818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.657959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47551256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.244863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23546 KachelY 27610 -0.88414818 0.47551256 -50.657959 27.244863
    Oben rechts KachelX + 1 23547 KachelY 27610 -0.88405230 0.47551256 -50.652466 27.244863
    Unten links KachelX 23546 KachelY + 1 27611 -0.88414818 0.47542732 -50.657959 27.239979
    Unten rechts KachelX + 1 23547 KachelY + 1 27611 -0.88405230 0.47542732 -50.652466 27.239979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47551256-0.47542732) × R
    8.52399999999864e-05 × 6371000     		dl = 543.064039999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47551256-0.47542732) × R
    8.52399999999864e-05 × 6371000     		dr = 543.064039999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88414818--0.88405230) × cos(0.47551256) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.889058191422456 × 6371000     		do = 543.082512036174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88414818--0.88405230) × cos(0.47542732) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.889097210570384 × 6371000     		du = 543.106346940434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47551256)-sin(0.47542732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889058191422456-0.889097210570384)×R²
    abs(-0.88405230--0.88414818)×3.90191479280322e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.90191479280322e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.90191479280322e-05×40589641000000     		ar = 294935.055157967m²