Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23545 / 27606
↖ ↑ ↗
← N 27.264395°
W 50.663452°		 ← 542.93 m → N 27.264395°
W 50.657959°		 →
↑
542.94 m
↓
↑
542.94 m
↓
N 27.259513°
W 50.663452°		 ← 542.95 m →
294 783 m²		 N 27.259513°
W 50.657959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359275817871094 y=0.421241760253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359275817871094 × 216)
    floor (0.359275817871094 × 65536)
    floor (23545.5)     		tx = 23545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421241760253906 × 216)
    floor (0.421241760253906 × 65536)
    floor (27606.5)     		ty = 27606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23545 / 27606 ti = "16/23545/27606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23545/27606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23545 ÷ 216
    23545 ÷ 65536     		x = 0.359268188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27606 ÷ 216
    27606 ÷ 65536     		y = 0.421234130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359268188476562 × 2 - 1) × π
    -0.281463623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88424405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421234130859375 × 2 - 1) × π
    0.15753173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.49490055167746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88424405} λ = -0.88424405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.49490055167746))-π/2
    2×atan(1.64033510237101)-π/2
    2×1.0233249008245-π/2
    2.046649801649-1.57079632675     		φ = 0.47585347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88424405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.663452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47585347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.264395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23545 KachelY 27606 -0.88424405 0.47585347 -50.663452 27.264395
    Oben rechts KachelX + 1 23546 KachelY 27606 -0.88414818 0.47585347 -50.657959 27.264395
    Unten links KachelX 23545 KachelY + 1 27607 -0.88424405 0.47576825 -50.663452 27.259513
    Unten rechts KachelX + 1 23546 KachelY + 1 27607 -0.88414818 0.47576825 -50.657959 27.259513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47585347-0.47576825) × R
    8.5219999999997e-05 × 6371000     		dl = 542.936619999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47585347-0.47576825) × R
    8.5219999999997e-05 × 6371000     		dr = 542.936619999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88424405--0.88414818) × cos(0.47585347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888902073140742 × 6371000     		do = 542.930515001999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88424405--0.88414818) × cos(0.47576825) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88894110896183 × 6371000     		du = 542.954357604112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47585347)-sin(0.47576825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888902073140742-0.88894110896183)×R²
    abs(-0.88414818--0.88424405)×3.90358210887731e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.90358210887731e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.90358210887731e-05×40589641000000     		ar = 294783.331399258m²