Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23542 / 27605
↖ ↑ ↗
← N 27.269279°
W 50.679932°		 ← 542.91 m → N 27.269279°
W 50.674439°		 →
↑
543 m
↓
↑
543 m
↓
N 27.264395°
W 50.679932°		 ← 542.93 m →
294 805 m²		 N 27.264395°
W 50.674439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359230041503906 y=0.421226501464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359230041503906 × 216)
    floor (0.359230041503906 × 65536)
    floor (23542.5)     		tx = 23542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421226501464844 × 216)
    floor (0.421226501464844 × 65536)
    floor (27605.5)     		ty = 27605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23542 / 27605 ti = "16/23542/27605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23542/27605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23542 ÷ 216
    23542 ÷ 65536     		x = 0.359222412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27605 ÷ 216
    27605 ÷ 65536     		y = 0.421218872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359222412109375 × 2 - 1) × π
    -0.28155517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88453167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421218872070312 × 2 - 1) × π
    0.157562255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.4949964254767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88453167} λ = -0.88453167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4949964254767))-π/2
    2×atan(1.64049237506835)-π/2
    2×1.02336751109808-π/2
    2.04673502219615-1.57079632675     		φ = 0.47593870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88453167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.679932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47593870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.269279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23542 KachelY 27605 -0.88453167 0.47593870 -50.679932 27.269279
    Oben rechts KachelX + 1 23543 KachelY 27605 -0.88443580 0.47593870 -50.674439 27.269279
    Unten links KachelX 23542 KachelY + 1 27606 -0.88453167 0.47585347 -50.679932 27.264395
    Unten rechts KachelX + 1 23543 KachelY + 1 27606 -0.88443580 0.47585347 -50.674439 27.264395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47593870-0.47585347) × R
    8.52299999999917e-05 × 6371000     		dl = 543.000329999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47593870-0.47585347) × R
    8.52299999999917e-05 × 6371000     		dr = 543.000329999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88453167--0.88443580) × cos(0.47593870) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888863026282317 × 6371000     		do = 542.906665658416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88453167--0.88443580) × cos(0.47585347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888902073140742 × 6371000     		du = 542.930515001999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47593870)-sin(0.47585347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888863026282317-0.888902073140742)×R²
    abs(-0.88443580--0.88453167)×3.90468584243742e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.90468584243742e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.90468584243742e-05×40589641000000     		ar = 294804.973890981m²