Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23540 / 9228
↖ ↑ ↗
← N 82.304480°
W115.345459°		 ← 40.90 m → N 82.304480°
W115.342712°		 →
↑
40.90 m
↓
↑
40.90 m
↓
N 82.304112°
W115.345459°		 ← 40.90 m →
1 673 m²		 N 82.304112°
W115.342712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179599761962891 y=0.0704078674316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179599761962891 × 217)
    floor (0.179599761962891 × 131072)
    floor (23540.5)     		tx = 23540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0704078674316406 × 217)
    floor (0.0704078674316406 × 131072)
    floor (9228.5)     		ty = 9228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23540 / 9228 ti = "17/23540/9228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23540/9228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23540 ÷ 217
    23540 ÷ 131072     		x = 0.179595947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9228 ÷ 217
    9228 ÷ 131072     		y = 0.070404052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179595947265625 × 2 - 1) × π
    -0.64080810546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.01315804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.070404052734375 × 2 - 1) × π
    0.85919189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.69923094380612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01315804} λ = -2.01315804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69923094380612))-π/2
    2×atan(14.8682927741883)-π/2
    2×1.50364024841884-π/2
    3.00728049683768-1.57079632675     		φ = 1.43648417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01315804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.345459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43648417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.304480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23540 KachelY 9228 -2.01315804 1.43648417 -115.345459 82.304480
    Oben rechts KachelX + 1 23541 KachelY 9228 -2.01311010 1.43648417 -115.342712 82.304480
    Unten links KachelX 23540 KachelY + 1 9229 -2.01315804 1.43647775 -115.345459 82.304112
    Unten rechts KachelX + 1 23541 KachelY + 1 9229 -2.01311010 1.43647775 -115.342712 82.304112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43648417-1.43647775) × R
    6.41999999984044e-06 × 6371000     		dl = 40.9018199989835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43648417-1.43647775) × R
    6.41999999984044e-06 × 6371000     		dr = 40.9018199989835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01315804--2.01311010) × cos(1.43648417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133908694474258 × 6371000     		do = 40.8991621022073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01315804--2.01311010) × cos(1.43647775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.133915056650884 × 6371000     		du = 40.9011052747114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43648417)-sin(1.43647775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133908694474258-0.133915056650884)×R²
    abs(-2.01311010--2.01315804)×6.36217662608463e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.36217662608463e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.36217662608463e-06×40589641000000     		ar = 1672.88990613769m²