Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2354 / 1865
↖ ↑ ↗
← N 15.876809°
E 26.894531°		 ← 9 400.17 m → N 15.876809°
E 26.982422°		 →
↑
9 402.13 m
↓
↑
9 402.13 m
↓
N 15.792254°
E 26.894531°		 ← 9 404.10 m →
88 400 123 m²		 N 15.792254°
E 26.982422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5748291015625 y=0.4554443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5748291015625 × 212)
    floor (0.5748291015625 × 4096)
    floor (2354.5)     		tx = 2354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4554443359375 × 212)
    floor (0.4554443359375 × 4096)
    floor (1865.5)     		ty = 1865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2354 / 1865 ti = "12/2354/1865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2354/1865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2354 ÷ 212
    2354 ÷ 4096     		x = 0.57470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1865 ÷ 212
    1865 ÷ 4096     		y = 0.455322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57470703125 × 2 - 1) × π
    0.1494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46939812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455322265625 × 2 - 1) × π
    0.08935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.280718484175049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46939812} λ = 0.46939812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.280718484175049))-π/2
    2×atan(1.32408080176365)-π/2
    2×0.92394945983351-π/2
    1.84789891966702-1.57079632675     		φ = 0.27710259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46939812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.894531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27710259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.876809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2354 KachelY 1865 0.46939812 0.27710259 26.894531 15.876809
    Oben rechts KachelX + 1 2355 KachelY 1865 0.47093210 0.27710259 26.982422 15.876809
    Unten links KachelX 2354 KachelY + 1 1866 0.46939812 0.27562682 26.894531 15.792254
    Unten rechts KachelX + 1 2355 KachelY + 1 1866 0.47093210 0.27562682 26.982422 15.792254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27710259-0.27562682) × R
    0.00147576999999999 × 6371000     		dl = 9402.13066999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27710259-0.27562682) × R
    0.00147576999999999 × 6371000     		dr = 9402.13066999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46939812-0.47093210) × cos(0.27710259) × R
    0.00153398000000005 × 0.961852118790113 × 6371000     		do = 9400.16784888062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46939812-0.47093210) × cos(0.27562682) × R
    0.00153398000000005 × 0.962254797518343 × 6371000     		du = 9404.10322268767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27710259)-sin(0.27562682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.961852118790113-0.962254797518343)×R²
    abs(0.47093210-0.46939812)×0.000402678728230299×R²
    0.00153398000000005×0.000402678728230299×6371000²
    0.00153398000000005×0.000402678728230299×40589641000000     		ar = 88400122.9283547m²