Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23539 / 33811
↖ ↑ ↗
← N 65.345077°
W115.348205°		 ← 127.38 m → N 65.345077°
W115.345459°		 →
↑
127.42 m
↓
↑
127.42 m
↓
N 65.343931°
W115.348205°		 ← 127.39 m →
16 231 m²		 N 65.343931°
W115.345459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179592132568359 y=0.257961273193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179592132568359 × 217)
    floor (0.179592132568359 × 131072)
    floor (23539.5)     		tx = 23539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257961273193359 × 217)
    floor (0.257961273193359 × 131072)
    floor (33811.5)     		ty = 33811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23539 / 33811 ti = "17/23539/33811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23539/33811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23539 ÷ 217
    23539 ÷ 131072     		x = 0.179588317871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33811 ÷ 217
    33811 ÷ 131072     		y = 0.257957458496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179588317871094 × 2 - 1) × π
    -0.640823364257812 × 3.1415926535     		Λ = -2.01320597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257957458496094 × 2 - 1) × π
    0.484085083007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.52079814044628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01320597} λ = -2.01320597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52079814044628))-π/2
    2×atan(4.57587592970556)-π/2
    2×1.35564153335596-π/2
    2.71128306671192-1.57079632675     		φ = 1.14048674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01320597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.348205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14048674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.345077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23539 KachelY 33811 -2.01320597 1.14048674 -115.348205 65.345077
    Oben rechts KachelX + 1 23540 KachelY 33811 -2.01315804 1.14048674 -115.345459 65.345077
    Unten links KachelX 23539 KachelY + 1 33812 -2.01320597 1.14046674 -115.348205 65.343931
    Unten rechts KachelX + 1 23540 KachelY + 1 33812 -2.01315804 1.14046674 -115.345459 65.343931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14048674-1.14046674) × R
    2.0000000000131e-05 × 6371000     		dl = 127.420000000835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14048674-1.14046674) × R
    2.0000000000131e-05 × 6371000     		dr = 127.420000000835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01320597--2.01315804) × cos(1.14048674) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.417152186240549 × 6371000     		do = 127.38243840943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01320597--2.01315804) × cos(1.14046674) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.417170362890086 × 6371000     		du = 127.387988868031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14048674)-sin(1.14046674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417152186240549-0.417170362890086)×R²
    abs(-2.01315804--2.01320597)×1.81766495369051e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81766495369051e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81766495369051e-05×40589641000000     		ar = 16231.423922402m²