Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23536 / 27824
↖ ↑ ↗
← N 26.194877°
W 50.712890°		 ← 548.06 m → N 26.194877°
W 50.707397°		 →
↑
548.10 m
↓
↑
548.10 m
↓
N 26.189948°
W 50.712890°		 ← 548.08 m →
300 396 m²		 N 26.189948°
W 50.707397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359138488769531 y=0.424568176269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359138488769531 × 216)
    floor (0.359138488769531 × 65536)
    floor (23536.5)     		tx = 23536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424568176269531 × 216)
    floor (0.424568176269531 × 65536)
    floor (27824.5)     		ty = 27824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23536 / 27824 ti = "16/23536/27824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23536/27824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23536 ÷ 216
    23536 ÷ 65536     		x = 0.359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27824 ÷ 216
    27824 ÷ 65536     		y = 0.424560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.28173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88510691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424560546875 × 2 - 1) × π
    0.15087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.474000063443115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88510691} λ = -0.88510691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474000063443115))-π/2
    2×atan(1.60640708894293)-π/2
    2×1.01399158596462-π/2
    2.02798317192923-1.57079632675     		φ = 0.45718685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88510691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.712890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45718685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.194877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23536 KachelY 27824 -0.88510691 0.45718685 -50.712890 26.194877
    Oben rechts KachelX + 1 23537 KachelY 27824 -0.88501104 0.45718685 -50.707397 26.194877
    Unten links KachelX 23536 KachelY + 1 27825 -0.88510691 0.45710082 -50.712890 26.189948
    Unten rechts KachelX + 1 23537 KachelY + 1 27825 -0.88501104 0.45710082 -50.707397 26.189948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45718685-0.45710082) × R
    8.60299999999592e-05 × 6371000     		dl = 548.09712999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45718685-0.45710082) × R
    8.60299999999592e-05 × 6371000     		dr = 548.09712999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88510691--0.88501104) × cos(0.45718685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897297842901807 × 6371000     		do = 548.058548491793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88510691--0.88501104) × cos(0.45710082) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897335815427631 × 6371000     		du = 548.081741646162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45718685)-sin(0.45710082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897297842901807-0.897335815427631)×R²
    abs(-0.88501104--0.88510691)×3.79725258240482e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79725258240482e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79725258240482e-05×40589641000000     		ar = 300395.673736207m²