Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2353 / 1810
↖ ↑ ↗
← N 20.468189°
E 26.806641°		 ← 9 155.98 m → N 20.468189°
E 26.894531°		 →
↑
9 158.44 m
↓
↑
9 158.44 m
↓
N 20.385825°
E 26.806641°		 ← 9 160.89 m →
83 876 993 m²		 N 20.385825°
E 26.894531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5745849609375 y=0.4420166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5745849609375 × 212)
    floor (0.5745849609375 × 4096)
    floor (2353.5)     		tx = 2353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4420166015625 × 212)
    floor (0.4420166015625 × 4096)
    floor (1810.5)     		ty = 1810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2353 / 1810 ti = "12/2353/1810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2353/1810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2353 ÷ 212
    2353 ÷ 4096     		x = 0.574462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1810 ÷ 212
    1810 ÷ 4096     		y = 0.44189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574462890625 × 2 - 1) × π
    0.14892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46786414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44189453125 × 2 - 1) × π
    0.1162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.365087427506348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46786414} λ = 0.46786414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365087427506348))-π/2
    2×atan(1.4406399542023)-π/2
    2×0.964016810320712-π/2
    1.92803362064142-1.57079632675     		φ = 0.35723729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46786414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.806641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35723729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.468189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2353 KachelY 1810 0.46786414 0.35723729 26.806641 20.468189
    Oben rechts KachelX + 1 2354 KachelY 1810 0.46939812 0.35723729 26.894531 20.468189
    Unten links KachelX 2353 KachelY + 1 1811 0.46786414 0.35579977 26.806641 20.385825
    Unten rechts KachelX + 1 2354 KachelY + 1 1811 0.46939812 0.35579977 26.894531 20.385825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35723729-0.35579977) × R
    0.00143751999999997 × 6371000     		dl = 9158.43991999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35723729-0.35579977) × R
    0.00143751999999997 × 6371000     		dr = 9158.43991999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46786414-0.46939812) × cos(0.35723729) × R
    0.00153397999999999 × 0.936866482341783 × 6371000     		do = 9155.983559178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46786414-0.46939812) × cos(0.35579977) × R
    0.00153397999999999 × 0.937368196628222 × 6371000     		du = 9160.88680616635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35723729)-sin(0.35579977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936866482341783-0.937368196628222)×R²
    abs(0.46939812-0.46786414)×0.000501714286438304×R²
    0.00153397999999999×0.000501714286438304×6371000²
    0.00153397999999999×0.000501714286438304×40589641000000     		ar = 83876992.8257813m²