Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2353 / 1741
↖ ↑ ↗
← N 26.037042°
E 26.806641°		 ← 8 781.13 m → N 26.037042°
E 26.894531°		 →
↑
8 784.08 m
↓
↑
8 784.08 m
↓
N 25.958045°
E 26.806641°		 ← 8 787.04 m →
77 160 106 m²		 N 25.958045°
E 26.894531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5745849609375 y=0.4251708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5745849609375 × 212)
    floor (0.5745849609375 × 4096)
    floor (2353.5)     		tx = 2353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4251708984375 × 212)
    floor (0.4251708984375 × 4096)
    floor (1741.5)     		ty = 1741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2353 / 1741 ti = "12/2353/1741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2353/1741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2353 ÷ 212
    2353 ÷ 4096     		x = 0.574462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1741 ÷ 212
    1741 ÷ 4096     		y = 0.425048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574462890625 × 2 - 1) × π
    0.14892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46786414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425048828125 × 2 - 1) × π
    0.14990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.470932101867432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46786414} λ = 0.46786414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.470932101867432))-π/2
    2×atan(1.60148624605733)-π/2
    2×1.01261421759109-π/2
    2.02522843518218-1.57079632675     		φ = 0.45443211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46786414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.806641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45443211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.037042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2353 KachelY 1741 0.46786414 0.45443211 26.806641 26.037042
    Oben rechts KachelX + 1 2354 KachelY 1741 0.46939812 0.45443211 26.894531 26.037042
    Unten links KachelX 2353 KachelY + 1 1742 0.46786414 0.45305335 26.806641 25.958045
    Unten rechts KachelX + 1 2354 KachelY + 1 1742 0.46939812 0.45305335 26.894531 25.958045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45443211-0.45305335) × R
    0.00137875999999998 × 6371000     		dl = 8784.07995999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45443211-0.45305335) × R
    0.00137875999999998 × 6371000     		dr = 8784.07995999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46786414-0.46939812) × cos(0.45443211) × R
    0.00153397999999999 × 0.898510449574373 × 6371000     		do = 8781.13056568006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46786414-0.46939812) × cos(0.45305335) × R
    0.00153397999999999 × 0.89911480499604 × 6371000     		du = 8787.03692310556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45443211)-sin(0.45305335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898510449574373-0.89911480499604)×R²
    abs(0.46939812-0.46786414)×0.000604355421667035×R²
    0.00153397999999999×0.000604355421667035×6371000²
    0.00153397999999999×0.000604355421667035×40589641000000     		ar = 77160106.209396m²