Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23528 / 27752
↖ ↑ ↗
← N 26.549223°
W 50.756836°		 ← 546.38 m → N 26.549223°
W 50.751343°		 →
↑
546.44 m
↓
↑
546.44 m
↓
N 26.544308°
W 50.756836°		 ← 546.40 m →
298 571 m²		 N 26.544308°
W 50.751343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359016418457031 y=0.423469543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359016418457031 × 216)
    floor (0.359016418457031 × 65536)
    floor (23528.5)     		tx = 23528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423469543457031 × 216)
    floor (0.423469543457031 × 65536)
    floor (27752.5)     		ty = 27752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23528 / 27752 ti = "16/23528/27752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23528/27752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23528 ÷ 216
    23528 ÷ 65536     		x = 0.3590087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27752 ÷ 216
    27752 ÷ 65536     		y = 0.4234619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3590087890625 × 2 - 1) × π
    -0.281982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88587390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4234619140625 × 2 - 1) × π
    0.153076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.480902976988403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88587390} λ = -0.88587390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480902976988403))-π/2
    2×atan(1.6175343392352)-π/2
    2×1.01708383730407-π/2
    2.03416767460814-1.57079632675     		φ = 0.46337135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88587390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.756836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46337135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.549223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23528 KachelY 27752 -0.88587390 0.46337135 -50.756836 26.549223
    Oben rechts KachelX + 1 23529 KachelY 27752 -0.88577803 0.46337135 -50.751343 26.549223
    Unten links KachelX 23528 KachelY + 1 27753 -0.88587390 0.46328558 -50.756836 26.544308
    Unten rechts KachelX + 1 23529 KachelY + 1 27753 -0.88577803 0.46328558 -50.751343 26.544308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46337135-0.46328558) × R
    8.57700000000405e-05 × 6371000     		dl = 546.440670000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46337135-0.46328558) × R
    8.57700000000405e-05 × 6371000     		dr = 546.440670000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88587390--0.88577803) × cos(0.46337135) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894550703648474 × 6371000     		do = 546.38062943337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88587390--0.88577803) × cos(0.46328558) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894589036673457 × 6371000     		du = 546.404042776217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46337135)-sin(0.46328558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894550703648474-0.894589036673457)×R²
    abs(-0.88577803--0.88587390)×3.83330249829061e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.83330249829061e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.83330249829061e-05×40589641000000     		ar = 298570.994407116m²