Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23528 / 27640
↖ ↑ ↗
← N 27.098254°
W 50.756836°		 ← 543.74 m → N 27.098254°
W 50.751343°		 →
↑
543.76 m
↓
↑
543.76 m
↓
N 27.093364°
W 50.756836°		 ← 543.76 m →
295 673 m²		 N 27.093364°
W 50.751343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359016418457031 y=0.421760559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359016418457031 × 216)
    floor (0.359016418457031 × 65536)
    floor (23528.5)     		tx = 23528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421760559082031 × 216)
    floor (0.421760559082031 × 65536)
    floor (27640.5)     		ty = 27640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23528 / 27640 ti = "16/23528/27640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23528/27640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23528 ÷ 216
    23528 ÷ 65536     		x = 0.3590087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27640 ÷ 216
    27640 ÷ 65536     		y = 0.4217529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3590087890625 × 2 - 1) × π
    -0.281982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88587390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4217529296875 × 2 - 1) × π
    0.156494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.491640842503296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88587390} λ = -0.88587390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491640842503296))-π/2
    2×atan(1.63499679238507)-π/2
    2×1.02187503949295-π/2
    2.04375007898591-1.57079632675     		φ = 0.47295375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88587390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.756836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47295375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.098254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23528 KachelY 27640 -0.88587390 0.47295375 -50.756836 27.098254
    Oben rechts KachelX + 1 23529 KachelY 27640 -0.88577803 0.47295375 -50.751343 27.098254
    Unten links KachelX 23528 KachelY + 1 27641 -0.88587390 0.47286840 -50.756836 27.093364
    Unten rechts KachelX + 1 23529 KachelY + 1 27641 -0.88577803 0.47286840 -50.751343 27.093364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47295375-0.47286840) × R
    8.5349999999984e-05 × 6371000     		dl = 543.764849999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47295375-0.47286840) × R
    8.5349999999984e-05 × 6371000     		dr = 543.764849999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88587390--0.88577803) × cos(0.47295375) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890226687972137 × 6371000     		do = 543.739573540976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88587390--0.88577803) × cos(0.47286840) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890265563171768 × 6371000     		du = 543.763318037466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47295375)-sin(0.47286840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890226687972137-0.890265563171768)×R²
    abs(-0.88577803--0.88587390)×3.8875199630195e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8875199630195e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8875199630195e-05×40589641000000     		ar = 295672.92353635m²