Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23520 / 27809
↖ ↑ ↗
← N 26.268789°
W 50.800782°		 ← 547.77 m → N 26.268789°
W 50.795288°		 →
↑
547.78 m
↓
↑
547.78 m
↓
N 26.263862°
W 50.800782°		 ← 547.79 m →
300 062 m²		 N 26.263862°
W 50.795288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358894348144531 y=0.424339294433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358894348144531 × 216)
    floor (0.358894348144531 × 65536)
    floor (23520.5)     		tx = 23520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424339294433594 × 216)
    floor (0.424339294433594 × 65536)
    floor (27809.5)     		ty = 27809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23520 / 27809 ti = "16/23520/27809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23520/27809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23520 ÷ 216
    23520 ÷ 65536     		x = 0.35888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27809 ÷ 216
    27809 ÷ 65536     		y = 0.424331665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35888671875 × 2 - 1) × π
    -0.2822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88664090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424331665039062 × 2 - 1) × π
    0.151336669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.475438170431717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88664090} λ = -0.88664090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475438170431717))-π/2
    2×atan(1.60871893614745)-π/2
    2×1.01463658618625-π/2
    2.0292731723725-1.57079632675     		φ = 0.45847685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88664090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.800782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45847685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.268789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23520 KachelY 27809 -0.88664090 0.45847685 -50.800782 26.268789
    Oben rechts KachelX + 1 23521 KachelY 27809 -0.88654502 0.45847685 -50.795288 26.268789
    Unten links KachelX 23520 KachelY + 1 27810 -0.88664090 0.45839087 -50.800782 26.263862
    Unten rechts KachelX + 1 23521 KachelY + 1 27810 -0.88654502 0.45839087 -50.795288 26.263862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45847685-0.45839087) × R
    8.59799999999855e-05 × 6371000     		dl = 547.778579999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45847685-0.45839087) × R
    8.59799999999855e-05 × 6371000     		dr = 547.778579999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88664090--0.88654502) × cos(0.45847685) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.896727657408798 × 6371000     		do = 547.767416684738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88664090--0.88654502) × cos(0.45839087) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.896765707360773 × 6371000     		du = 547.790659554216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45847685)-sin(0.45839087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896727657408798-0.896765707360773)×R²
    abs(-0.88654502--0.88664090)×3.80499519744282e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.80499519744282e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.80499519744282e-05×40589641000000     		ar = 300061.623839763m²