Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23520 / 27744
↖ ↑ ↗
← N 26.588527°
W 50.800782°		 ← 546.25 m → N 26.588527°
W 50.795288°		 →
↑
546.19 m
↓
↑
546.19 m
↓
N 26.583615°
W 50.800782°		 ← 546.27 m →
298 361 m²		 N 26.583615°
W 50.795288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358894348144531 y=0.423347473144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358894348144531 × 216)
    floor (0.358894348144531 × 65536)
    floor (23520.5)     		tx = 23520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423347473144531 × 216)
    floor (0.423347473144531 × 65536)
    floor (27744.5)     		ty = 27744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23520 / 27744 ti = "16/23520/27744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23520/27744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23520 ÷ 216
    23520 ÷ 65536     		x = 0.35888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27744 ÷ 216
    27744 ÷ 65536     		y = 0.42333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35888671875 × 2 - 1) × π
    -0.2822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88664090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42333984375 × 2 - 1) × π
    0.1533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.481669967382324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88664090} λ = -0.88664090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481669967382324))-π/2
    2×atan(1.6187754484338)-π/2
    2×1.01742683437951-π/2
    2.03485366875902-1.57079632675     		φ = 0.46405734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88664090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.800782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46405734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.588527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23520 KachelY 27744 -0.88664090 0.46405734 -50.800782 26.588527
    Oben rechts KachelX + 1 23521 KachelY 27744 -0.88654502 0.46405734 -50.795288 26.588527
    Unten links KachelX 23520 KachelY + 1 27745 -0.88664090 0.46397161 -50.800782 26.583615
    Unten rechts KachelX + 1 23521 KachelY + 1 27745 -0.88654502 0.46397161 -50.795288 26.583615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46405734-0.46397161) × R
    8.57300000000061e-05 × 6371000     		dl = 546.185830000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46405734-0.46397161) × R
    8.57300000000061e-05 × 6371000     		dr = 546.185830000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88664090--0.88654502) × cos(0.46405734) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.894243878653715 × 6371000     		do = 546.250196756204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88664090--0.88654502) × cos(0.46397161) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.894282246403672 × 6371000     		du = 546.27363375305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46405734)-sin(0.46397161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894243878653715-0.894282246403672)×R²
    abs(-0.88654502--0.88664090)×3.83677499569135e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.83677499569135e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.83677499569135e-05×40589641000000     		ar = 298360.517763383m²