Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23518 / 27743
↖ ↑ ↗
← N 26.593439°
W 50.811767°		 ← 546.17 m → N 26.593439°
W 50.806274°		 →
↑
546.19 m
↓
↑
546.19 m
↓
N 26.588527°
W 50.811767°		 ← 546.19 m →
298 317 m²		 N 26.588527°
W 50.806274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358863830566406 y=0.423332214355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358863830566406 × 216)
    floor (0.358863830566406 × 65536)
    floor (23518.5)     		tx = 23518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423332214355469 × 216)
    floor (0.423332214355469 × 65536)
    floor (27743.5)     		ty = 27743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23518 / 27743 ti = "16/23518/27743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23518/27743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23518 ÷ 216
    23518 ÷ 65536     		x = 0.358856201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27743 ÷ 216
    27743 ÷ 65536     		y = 0.423324584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358856201171875 × 2 - 1) × π
    -0.28228759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88683264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423324584960938 × 2 - 1) × π
    0.153350830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.481765841181564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88683264} λ = -0.88683264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481765841181564))-π/2
    2×atan(1.61893065402612)-π/2
    2×1.01746970073873-π/2
    2.03493940147746-1.57079632675     		φ = 0.46414307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88683264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.811767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46414307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.593439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23518 KachelY 27743 -0.88683264 0.46414307 -50.811767 26.593439
    Oben rechts KachelX + 1 23519 KachelY 27743 -0.88673677 0.46414307 -50.806274 26.593439
    Unten links KachelX 23518 KachelY + 1 27744 -0.88683264 0.46405734 -50.811767 26.588527
    Unten rechts KachelX + 1 23519 KachelY + 1 27744 -0.88673677 0.46405734 -50.806274 26.588527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46414307-0.46405734) × R
    8.57300000000061e-05 × 6371000     		dl = 546.185830000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46414307-0.46405734) × R
    8.57300000000061e-05 × 6371000     		dr = 546.185830000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88683264--0.88673677) × cos(0.46414307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894205504331394 × 6371000     		do = 546.169785912286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88683264--0.88673677) × cos(0.46405734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894243878653715 × 6371000     		du = 546.193224479042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46414307)-sin(0.46405734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894205504331394-0.894243878653715)×R²
    abs(-0.88673677--0.88683264)×3.83743223210109e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.83743223210109e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.83743223210109e-05×40589641000000     		ar = 298316.598928636m²