Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 23516 / 13275
↖ ↑ ↗
← N 80.663536°
W115.411377°		 ← 49.54 m → N 80.663536°
W115.408631°		 →
↑
49.57 m
↓
↑
49.57 m
↓
N 80.663090°
W115.411377°		 ← 49.54 m →
2 456 m²		 N 80.663090°
W115.408631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179416656494141 y=0.101284027099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179416656494141 × 217)
    floor (0.179416656494141 × 131072)
    floor (23516.5)     		tx = 23516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101284027099609 × 217)
    floor (0.101284027099609 × 131072)
    floor (13275.5)     		ty = 13275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23516 / 13275 ti = "17/23516/13275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23516/13275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23516 ÷ 217
    23516 ÷ 131072     		x = 0.179412841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13275 ÷ 217
    13275 ÷ 131072     		y = 0.101280212402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179412841796875 × 2 - 1) × π
    -0.64117431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.01430852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101280212402344 × 2 - 1) × π
    0.797439575195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.50523031104375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01430852} λ = -2.01430852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50523031104375))-π/2
    2×atan(12.2463791173893)-π/2
    2×1.48932030601501-π/2
    2.97864061203002-1.57079632675     		φ = 1.40784429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01430852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.411377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40784429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.663536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23516 KachelY 13275 -2.01430852 1.40784429 -115.411377 80.663536
    Oben rechts KachelX + 1 23517 KachelY 13275 -2.01426059 1.40784429 -115.408631 80.663536
    Unten links KachelX 23516 KachelY + 1 13276 -2.01430852 1.40783651 -115.411377 80.663090
    Unten rechts KachelX + 1 23517 KachelY + 1 13276 -2.01426059 1.40783651 -115.408631 80.663090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40784429-1.40783651) × R
    7.78000000001278e-06 × 6371000     		dl = 49.5663800000814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40784429-1.40783651) × R
    7.78000000001278e-06 × 6371000     		dr = 49.5663800000814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01430852--2.01426059) × cos(1.40784429) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.162231839456421 × 6371000     		do = 49.5394438270772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01430852--2.01426059) × cos(1.40783651) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.162239516387278 × 6371000     		du = 49.5417880702678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40784429)-sin(1.40783651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162231839456421-0.162239516387278)×R²
    abs(-2.01426059--2.01430852)×7.67693085687582e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.67693085687582e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.67693085687582e-06×40589641000000     		ar = 2455.54899551113m²