Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 23515 / 13274
↖ ↑ ↗
← N 80.663981°
W115.414124°		 ← 49.55 m → N 80.663981°
W115.411377°		 →
↑
49.50 m
↓
↑
49.50 m
↓
N 80.663536°
W115.414124°		 ← 49.55 m →
2 453 m²		 N 80.663536°
W115.411377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179409027099609 y=0.101276397705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179409027099609 × 217)
    floor (0.179409027099609 × 131072)
    floor (23515.5)     		tx = 23515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101276397705078 × 217)
    floor (0.101276397705078 × 131072)
    floor (13274.5)     		ty = 13274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 23515 / 13274 ti = "17/23515/13274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/23515/13274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23515 ÷ 217
    23515 ÷ 131072     		x = 0.179405212402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13274 ÷ 217
    13274 ÷ 131072     		y = 0.101272583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179405212402344 × 2 - 1) × π
    -0.641189575195312 × 3.1415926535     		Λ = -2.01435646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101272583007812 × 2 - 1) × π
    0.797454833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50527824794337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01435646} λ = -2.01435646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50527824794337))-π/2
    2×atan(12.2469661849067)-π/2
    2×1.48932419436886-π/2
    2.97864838873772-1.57079632675     		φ = 1.40785206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01435646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.414124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40785206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.663981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23515 KachelY 13274 -2.01435646 1.40785206 -115.414124 80.663981
    Oben rechts KachelX + 1 23516 KachelY 13274 -2.01430852 1.40785206 -115.411377 80.663981
    Unten links KachelX 23515 KachelY + 1 13275 -2.01435646 1.40784429 -115.414124 80.663536
    Unten rechts KachelX + 1 23516 KachelY + 1 13275 -2.01430852 1.40784429 -115.411377 80.663536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40785206-1.40784429) × R
    7.76999999985151e-06 × 6371000     		dl = 49.5026699990539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40785206-1.40784429) × R
    7.76999999985151e-06 × 6371000     		dr = 49.5026699990539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01435646--2.01430852) × cos(1.40785206) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162224172383284 × 6371000     		do = 49.5474378960197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01435646--2.01430852) × cos(1.40784429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162231839456421 × 6371000     		du = 49.5497796175062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40785206)-sin(1.40784429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162224172383284-0.162231839456421)×R²
    abs(-2.01430852--2.01435646)×7.6670731370132e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.6670731370132e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.6670731370132e-06×40589641000000     		ar = 2452.78842821688m²