Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2351 / 1743
↖ ↑ ↗
← N 25.878994°
E 26.630859°		 ← 8 792.93 m → N 25.878994°
E 26.718750°		 →
↑
8 795.87 m
↓
↑
8 795.87 m
↓
N 25.799891°
E 26.630859°		 ← 8 798.81 m →
77 367 317 m²		 N 25.799891°
E 26.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5740966796875 y=0.4256591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5740966796875 × 212)
    floor (0.5740966796875 × 4096)
    floor (2351.5)     		tx = 2351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4256591796875 × 212)
    floor (0.4256591796875 × 4096)
    floor (1743.5)     		ty = 1743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2351 / 1743 ti = "12/2351/1743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2351/1743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2351 ÷ 212
    2351 ÷ 4096     		x = 0.573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1743 ÷ 212
    1743 ÷ 4096     		y = 0.425537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573974609375 × 2 - 1) × π
    0.14794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46479618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425537109375 × 2 - 1) × π
    0.14892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.467864140291748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46479618} λ = 0.46479618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.467864140291748))-π/2
    2×atan(1.59658047699385)-π/2
    2×1.01123499308573-π/2
    2.02246998617146-1.57079632675     		φ = 0.45167366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46479618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.630859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45167366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.878994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2351 KachelY 1743 0.46479618 0.45167366 26.630859 25.878994
    Oben rechts KachelX + 1 2352 KachelY 1743 0.46633016 0.45167366 26.718750 25.878994
    Unten links KachelX 2351 KachelY + 1 1744 0.46479618 0.45029305 26.630859 25.799891
    Unten rechts KachelX + 1 2352 KachelY + 1 1744 0.46633016 0.45029305 26.718750 25.799891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45167366-0.45029305) × R
    0.00138061 × 6371000     		dl = 8795.86631000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45167366-0.45029305) × R
    0.00138061 × 6371000     		dr = 8795.86631000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46479618-0.46633016) × cos(0.45167366) × R
    0.00153397999999999 × 0.899717857138809 × 6371000     		do = 8792.93054360388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46479618-0.46633016) × cos(0.45029305) × R
    0.00153397999999999 × 0.900319597040296 × 6371000     		du = 8798.81133958577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45167366)-sin(0.45029305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899717857138809-0.900319597040296)×R²
    abs(0.46633016-0.46479618)×0.000601739901486931×R²
    0.00153397999999999×0.000601739901486931×6371000²
    0.00153397999999999×0.000601739901486931×40589641000000     		ar = 77367317.1713309m²